2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題二十一

湖北2015年高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題二十一

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題，希望對大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　1.拋物線的簡單幾何性質(zhì)

　　設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)

　　(1)范圍：拋物線上的點(diǎn)(x，y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________，拋物線在y軸的______側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也________，拋物線向右上方和右下方無限延伸.

　　(2)對稱性：拋物線關(guān)于________對稱，拋物線的對稱軸叫做______________.

　　(3)頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的________.拋物線的頂點(diǎn)為____________.

　　(4)離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的_________，用e表示，其值為______.

　　(5)拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為______，這就是p的幾何意義，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為________.

　　2.拋物線的焦點(diǎn)弦

　　設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，AB為過焦點(diǎn)的一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則有以下結(jié)論.

　　(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線________.

　　(2)|AB|=__________(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系).

　　(3)|AB|=x1+x2+______.

　　(4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2=________，y1y2=________.

　　一、選擇題

　　1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過點(diǎn)(-2,3)，它的方程是(　　)

　　A.x2=-y或y2=x

　　B.y2=-x或x2=y

　　C.y2=-x

　　D.x2=y

　　2.若拋物線y2=2px (p>0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是(　　)

　　A.成等差數(shù)列

　　B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列

　　C.成等比數(shù)列

　　D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

　　3.橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)

　　A.7倍 B.5倍

　　C.4倍 D.3倍

　　4.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為(　　)

　　A.y2=±4x B.y2=±8x

　　C.y2=4x D.y2=8x

　　5.設(shè)直線l1：y=2x，直線l2經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，拋物線C：y2=4x，已知l1、l2與C共有三個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線l2的條數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　6.過拋物線y2=ax (a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長分別為p、q，則+等于(　　)

　　A.2a B. C.4a D.

　　 二、填空題

　　7.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為________.

　　8.已知F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則△ABF的面積等于________.

　　9.過拋物線x2=2py (p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸的左側(cè))，則=________.

　　三、解答題

　　10.設(shè)拋物線y=mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　11.已知拋物線y2=2px (p>0)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m，n兩部分.求證：+為定值.

　　能力提升

　　12.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為-，那么|PF|等于(　　)

　　A.4 B.8 C.8 D.16

　　13.

　　已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).

　　(1)若|AF|=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo);

　　(2)求線段AB的長的最小值.

　　1.拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題，可轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

　　2.拋物線的焦點(diǎn)弦可以借助于直線方程與拋物線方程聯(lián)立而成的方程組的解，還要結(jié)合拋物線的定義.

　　2.2　拋物線的簡單性質(zhì)

　　知識(shí)梳理

　　1.(1)x≥0　右　增大　(2)x軸　拋物線的軸

　　(3)頂點(diǎn)　坐標(biāo)原點(diǎn)　(4)離心率　1　(5)p

　　2.(1)相切　(2)2(x0+)　(3)p　(4)　-p2

　　參考答案

　　1.B　[由題意知所求拋物線開口向上或開口向左，利用待定系數(shù)法可求得方程.]

　　2.A　[設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，

　　則y=2px1，y=2px2，y=2px3，

　　因?yàn)?y=y+y，所以x1+x3=2x2，

　　即|P1F|-+|P3F|-=2，

　　所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.]

　　3.A　[設(shè)PF1的中點(diǎn)為A，因?yàn)锳在y軸上，

　　所以O(shè)A為△F1PF2的中位線，即有|PF2|=2|AO|，

　　因?yàn)镕2(3,0)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，

　　即|PF2|=.∴|PF1|=4-=7×=7|PF2|.]

　　4.B　[y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2，令x=0得y=-.

　　∴××=4，∴a2=64，∴a=±8.]

　　5.C　[∵點(diǎn)P(2,1)在拋物線內(nèi)部，且直線l1與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴過點(diǎn)P的 直線l2在過點(diǎn)A或點(diǎn)B或與x軸平行時(shí)符合題意.∴滿足條件的直線l2共有3條.]

　　6.D　[可采用特殊值法，設(shè)PQ過焦點(diǎn)F且垂直于x軸，則|PF|=p=xP+=+=，

　　|QF|=q=，∴+=+=.]

　　7.y2=4x

　　解析　設(shè)拋物線方程為y2=ax.

　　將y=x代入y2=ax，

　　得x=0或x=a，∴=2.∴a=4.

　　∴拋物線方程為y2=4x.

　　8.2

　　解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則y=4x1，y=4x2.

　　∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).

　　∵x1≠x2，∴==1.

　　∴直線AB的方程為y-2=x-2，即y=x.

　　將其代入y2=4x，得A(0,0)、B(4,4).

　　∴|AB|=4.又F(1,0)到y(tǒng)=x的距離為，

　　∴S△ABF=××4=2.

　　9.

　　解析　拋物線x2=2py (p>0)的焦點(diǎn)為F，則直線AB的方程為y=x+，

　　由消去x，得12y2-20py+3p2=0，

　　解得y1=，y2=.

　　由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，可知===.

　　10.解　由y=mx2 (m≠0)可化為x2=y，

　　其準(zhǔn)線方程為y=-.

　　由題意知-=-2或-=4，

　　解得m=或m=-.

　　則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.

　　11.證明　(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，m=n=p，

　　∴+=.

　　(2)當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB所在的方程為：y=k，

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|=m，|BF|=n，

　　∴m=+x1，n=+x2.

　　將直線AB的方程代入拋物線方程得

　　k2x2-(k2p+2p)x+=0.

　　∴

　　∴+===.

　　綜上可知+為定值.

　　12.

　　B　[如圖所示，直線AF的方程為y=-(x-2)，與準(zhǔn)線方程x=-2聯(lián)立得A(-2,4).

　　設(shè)P(x0,4)，代入拋物線y2=8x，得8x0=48，∴x0=6，

　　∴|PF|=x0+2=8，選B.]

　　13.解　由y2=4x，得p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F(1,0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A′、B′.

　　(1)由拋物線的定義可知，|AF|=x1+，

　　從而x1=4-1=3.

　　代入y2=4x，解得y1=±2.

　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

　　(3,2)或(3，-2).

　　(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

　　設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).

　　與拋物線方程聯(lián)立，

　　消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　因?yàn)橹本€與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，

　　則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2，則x1+x2=2+.

　　由拋物線的定義可知，

　　|AB|=x1+x2+p=4+>4.

　　當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，-2)，此時(shí)|AB|=4，

　　所以|AB|≥4，即線段AB的長的最小值為4.