2019年黃岡師范學院普通專升本《數(shù)學與應用數(shù)學》綜合考試大綱

2019年黃岡師范學院普通專升本《數(shù)學與應用數(shù)學》綜合考試大綱

課程一：《高等代數(shù)》考試大綱（總分100）

一、參考教材

北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2013年8月第4版。

二、考試的內(nèi)容及基本要求

第一章 多項式

考試內(nèi)容：

1．數(shù)集、數(shù)域、多項式的概念、多項式的代數(shù)性質；

2．整除的概念、整除性幾個常用性質、不可約多項式；

3．最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項式及其性質；

4．重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重數(shù)的方法、因式分解唯一性定理；

5．多項式的根、多項式的根的個數(shù)、復數(shù)域上多項式的分解、實數(shù)域上多項式的分解。

基本要求：

1．掌握一元多項式概念、運算及多項乘積與次數(shù)的關系；

2．正確理解多項式整除的概念及性質，正確理解帶余除法；

3．掌握最大公因式的概念、性質、求法以及多項式互素的概念和性質；

4．正確理解不可約多項式的概念，掌握多項式因式分解的唯一性定理；

5．正確理解多項式重因式的概念，掌握多項式有無重因式的判別方法；

6．掌握多項式函數(shù)以及多項式根的概念；

7．掌握復數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解定理；

8．掌握有理數(shù)域上的多項式的有理根的求法。

第二章 行列式

考試內(nèi)容：

1．n級排列、逆序數(shù)、偶（奇）排列、對換、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定義、n級行列式的性質；

3．行列式的變換、行列式計算；

4．行列式按一行展開的性質、展開性質的應用；

5．Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：

1．掌握n階行列式的概念與性質；

2．學會用行列式的性質熟練地計算行列式；

3．掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。

第三章 線性方程組

考試內(nèi)容：

1．消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2．n維向量概念、n維向量的運算、線性組合、向量組等價、線性相關（無關）、線性相關性的判定、極大線性無關組及向量組的秩；

3．矩陣秩的求法；

4．線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結構、一般線性方程組解的結構、線性方程組解的幾何意義；

5．兩個多項式的結式、二元高次方程組的解法。

基本要求：

1．理解消元法與矩陣初等變換的關系，能熟練地運用消元法求解一般的線性方程組；

2．正確理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地運用矩陣的初等變換求矩陣的秩；

3．掌握線性方程組有解的判定定理及其應用；

4．能熟練地求齊次線性方程組的基礎解系；

5．掌握一般線性方程組在有解的情況下解的結構；

6．掌握n個未知量n個方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。

第四章 矩陣

考試內(nèi)容：

1．矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩；

2．可逆矩陣、可逆矩陣的性質、可逆矩陣的兩個應用；

3．矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應用；

4．逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。

基本要求：

1．掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉置及其運算規(guī)律，并能熟練地運用；

2．掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4．掌握初等矩陣的概念、初等矩陣與初等變換的關系以及用初等變換求逆矩陣的方法。

第五章 二次型

考試內(nèi)容：

1．二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關系、二次型的標準形的求法；

2．正定二次型及其性質、正定性的判別、與正定二次型平行的理論。

基本要求：

1．掌握二次型的概念及二次型與對稱矩陣一一對應關系；

2．掌握化二次型為標準形的方法及其理論依據(jù)；

3．掌握矩陣合同的概念及其性質；

4．掌握正定二次型的概念和判別法。

第六章 線性空間

考試內(nèi)容：

1．集合、映射、線性空間的定義及簡單性質、線性相關性及幾個結論、維數(shù)、基與坐標；

2．基變換與坐標變換、關于過渡矩陣的求法；

3．線性子空間及其判別、生成子空間；

4．子空間的交與和定義、維數(shù)公式、子空間交與和的求法、子空間的直和。

基本要求：

1．掌握線性空間概念及簡單性質，了解公理化的思想方法；

2．正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判別方法；

3．正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關性的概念和性質；

4．掌握有限維線性空間的基與維數(shù)的概念及求法；

5．掌握線性空間中向量坐標的定義，基變換與坐標變換的公式，過渡矩陣的概念、性質及求法。

第七章 線性變換

考試內(nèi)容：

1．線性變換定義、線性變換的運算規(guī)律、線性變換多項式；

2．線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關系、坐標變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關系、相似矩陣的性質；

3．特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項式的性質；

4．某組基下的矩陣為對角陣的線性變換、相似對角陣及所對應基的求法、值域與核的定義及其性質、值域與核的求法。

基本要求：

1．正確理解線性變換的概念、掌握它的運算及簡單性質；

2．掌握線性變換與矩陣的一一對應關系；

3．正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法，掌握矩陣對角化的條件及其方法；

4．掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。

第九章 歐氏空間

考試內(nèi)容：

定義與基本性質、度量矩陣、標準正交基、標準正交基的存在性及求法、標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。

基本要求：

1．正確理解內(nèi)積、歐氏空間、長度、夾角、距離等概念；

2．掌握標準正交基的求法；

3．理解歐氏空間同構的概念及同構的充分必要條件；

4．掌握正交變換與正交矩陣等概念、性質及關系。

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