2019年黃岡師范學(xué)院普通專升本《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》綜合考試大綱

2019年黃岡師范學(xué)院普通專升本《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》綜合考試大綱

課程一：《高等代數(shù)》考試大綱（總分100）

一、參考教材

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2013年8月第4版。

二、考試的內(nèi)容及基本要求

第一章 多項(xiàng)式

考試內(nèi)容：

1．?dāng)?shù)集、數(shù)域、多項(xiàng)式的概念、多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)；

2．整除的概念、整除性幾個(gè)常用性質(zhì)、不可約多項(xiàng)式；

3．最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)；

4．重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重?cái)?shù)的方法、因式分解唯一性定理；

5．多項(xiàng)式的根、多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)、復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解。

基本要求：

1．掌握一元多項(xiàng)式概念、運(yùn)算及多項(xiàng)乘積與次數(shù)的關(guān)系；

2．正確理解多項(xiàng)式整除的概念及性質(zhì)，正確理解帶余除法；

3．掌握最大公因式的概念、性質(zhì)、求法以及多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì)；

4．正確理解不可約多項(xiàng)式的概念，掌握多項(xiàng)式因式分解的唯一性定理；

5．正確理解多項(xiàng)式重因式的概念，掌握多項(xiàng)式有無(wú)重因式的判別方法；

6．掌握多項(xiàng)式函數(shù)以及多項(xiàng)式根的概念；

7．掌握復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理；

8．掌握有理數(shù)域上的多項(xiàng)式的有理根的求法。

第二章 行列式

考試內(nèi)容：

1．n級(jí)排列、逆序數(shù)、偶（奇）排列、對(duì)換、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定義、n級(jí)行列式的性質(zhì)；

3．行列式的變換、行列式計(jì)算；

4．行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用；

5．Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：

1．掌握n階行列式的概念與性質(zhì)；

2．學(xué)會(huì)用行列式的性質(zhì)熟練地計(jì)算行列式；

3．掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。

第三章 線性方程組

考試內(nèi)容：

1．消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2．n維向量概念、n維向量的運(yùn)算、線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）、線性相關(guān)性的判定、極大線性無(wú)關(guān)組及向量組的秩；

3．矩陣秩的求法；

4．線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組解的幾何意義；

5．兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式、二元高次方程組的解法。

基本要求：

1．理解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，能熟練地運(yùn)用消元法求解一般的線性方程組；

2．正確理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的秩；

3．掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用；

4．能熟練地求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；

5．掌握一般線性方程組在有解的情況下解的結(jié)構(gòu)；

6．掌握n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。

第四章 矩陣

考試內(nèi)容：

1．矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式與秩；

2．可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)、可逆矩陣的兩個(gè)應(yīng)用；

3．矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用；

4．逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。

基本要求：

1．掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律，并能熟練地運(yùn)用；

2．掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4．掌握初等矩陣的概念、初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的方法。

第五章 二次型

考試內(nèi)容：

1．二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關(guān)系、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的求法；

2．正定二次型及其性質(zhì)、正定性的判別、與正定二次型平行的理論。

基本要求：

1．掌握二次型的概念及二次型與對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2．掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法及其理論依據(jù)；

3．掌握矩陣合同的概念及其性質(zhì)；

4．掌握正定二次型的概念和判別法。

第六章 線性空間

考試內(nèi)容：

1．集合、映射、線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)、線性相關(guān)性及幾個(gè)結(jié)論、維數(shù)、基與坐標(biāo)；

2．基變換與坐標(biāo)變換、關(guān)于過(guò)渡矩陣的求法；

3．線性子空間及其判別、生成子空間；

4．子空間的交與和定義、維數(shù)公式、子空間交與和的求法、子空間的直和。

基本要求：

1．掌握線性空間概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)，了解公理化的思想方法；

2．正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判別方法；

3．正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關(guān)性的概念和性質(zhì)；

4．掌握有限維線性空間的基與維數(shù)的概念及求法；

5．掌握線性空間中向量坐標(biāo)的定義，基變換與坐標(biāo)變換的公式，過(guò)渡矩陣的概念、性質(zhì)及求法。

第七章 線性變換

考試內(nèi)容：

1．線性變換定義、線性變換的運(yùn)算規(guī)律、線性變換多項(xiàng)式；

2．線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關(guān)系、坐標(biāo)變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系、相似矩陣的性質(zhì)；

3．特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)；

4．某組基下的矩陣為對(duì)角陣的線性變換、相似對(duì)角陣及所對(duì)應(yīng)基的求法、值域與核的定義及其性質(zhì)、值域與核的求法。

基本要求：

1．正確理解線性變換的概念、掌握它的運(yùn)算及簡(jiǎn)單性質(zhì)；

2．掌握線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

3．正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法，掌握矩陣對(duì)角化的條件及其方法；

4．掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。

第九章 歐氏空間

考試內(nèi)容：

定義與基本性質(zhì)、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性及求法、標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣。

基本要求：

1．正確理解內(nèi)積、歐氏空間、長(zhǎng)度、夾角、距離等概念；

2．掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法；

3．理解歐氏空間同構(gòu)的概念及同構(gòu)的充分必要條件；

4．掌握正交變換與正交矩陣等概念、性質(zhì)及關(guān)系。

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