2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題二十五

湖北2015年高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題二十五

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　一、選擇題

　　1.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C夾角的大小是(　　)

　　A.30° B.45° C.60° D.90°

　　2.

　　如圖所示，四面體SABC中，·=0，·=0，·=0，，SBA=45°，SBC=60°，M為AB的中點(diǎn).則BC與平面SAB的夾角為(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.90° D.75°

　　3.平面的一條斜線段長是它在平面內(nèi)射影長的2倍，則斜線與平面所成角的大小為(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.45° D.120°

　　4.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點(diǎn)，若B1MN=90°，則PMN的大小是(　　)

　　A.等于90°

　　B.小于90°

　　C.大于90°

　　D.不確定

　　5.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線l與平面α所成的角等于(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.150° D.以上均錯(cuò)

　　6.正四棱錐S—ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角是(　　)

　　A.30° B.60° C.150° D.90°

　　二、填空題

　　7.

　　如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為________.

　　8.正方形ABCD的邊長為a，PA平面ABCD，PA=a，則直線PB與平面PAC所成的角為________.

　　9.在正三棱柱ABC—A1B1C1中側(cè)棱長為，底面邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角為________.

　　三、解答題

　　10.

　　如圖所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，AOB=90°，D是線段A′B′的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB′上的一點(diǎn)，若OPBD，求OP與底面AOB所成角的正切值.

　　11.

　　如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且AS=AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.

　　能力提升

　　12.

　　如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中點(diǎn)O為球心，BD為直徑的球面交PD于M.

　　(1)求證：平面ABM平面PCD;

　　(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正弦值.

　　13.已知三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，且AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn).

　　(1)證明：CMSN;

　　(2)求SN與平面CMN所成角的大小.

　　1.C

　　2.B　[·=0，·=0，⊥，，即SBSC，SASC，又SB∩SA=S，

　　SC⊥平面SAB，SBC為BC與平面SAB的夾角.又SBC=60°，故BC與平面SAB的夾角為60°.]

　　3.B

　　4.A　[A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，

　　則·=(+)·

　　=·+·=0，

　　MP⊥MN，即PMN=90°.

　　也可由三垂線定理直接得MPMN.]

　　5.B　[當(dāng)直線l的方向向量ν與平面α的法向量n的夾角〈n，ν〉小于90°時(shí)，直線l與平面α所成的角與之互余.]

　　6.A　[

　　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

　　設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，

　　則A(a,0,0)，B(0，a,0)，

　　C(-a,0,0)，P.

　　則=(2a,0,0)，=，=(a，a,0).

　　設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n=(0,1,1)，

　　則cos〈，n〉===.

　　〈，n〉=60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°-60°=30°.]

　　7.

　　解析　不妨設(shè)正三棱柱ABC—A1B1C1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(x軸垂直于AB)，

　　則C(0,0,0)，A(，-1,0)，B1(，1,2)，D，

　　則=，=(，1,2)，設(shè)平面B1DC的法向量為n=(x，y,1)，

　　由解得n=(-，1,1).

　　又=，

　　sin θ=|cos〈，n〉|=.

　　8.30°

　　9.

　　解析　在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中點(diǎn)O，OBAC，則OB平面ACC1A1，

　　BC1O就是BC1與平面AC1的夾角.

　　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

　　則O(0,0,0)，B，

　　C1，

　　=，=.

　　cos〈，〉=

　　===.

　　〈，〉=，即BC1與平面ACC1A1的夾角為.

　　10.解　如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

　　則B(3,0,0)，D.

　　設(shè)P(3,0，z)，則=，=(3,0，z).

　　BD⊥OP，·

　　=-+4z=0，z=.

　　P.∵BB′⊥平面AOB，

　　POB是OP與底面AOB所成的角.

　　tan∠POB==，

　　故OP與底面AOB所成角的正切值為.

　　11.解　由題設(shè)條件知，可建立以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸的空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).

　　設(shè)AB=1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，

　　D，S(0,0,1).

　　=(0,0,1)，

　　=(-1，-1,1).

　　顯然是底面的法向量，它與已知向量的夾角β=90°-θ，

　　故有sin θ=|cos β|===，

　　于是cos θ==.

　　12.(1)證明　依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，

　　則BMPD.

　　因?yàn)镻A底面ABCD，AB底面ABCD，

　　則PAAB.

　　又ABAD，PA∩AD=A，所以AB平面PAD，

　　則ABPD，又BM∩AB=B.

　　因此有PD平面ABM，又PD平面PCD.

　　所以平面ABM平面PCD.

　　(2)解

　　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，

　　P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，

　　設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量n=(x，y，z)，

　　由n，n

　　可得

　　令z=-1，則y=1，即n=(0,1，-1).

　　設(shè)所求角為α，則sin α==，

　　故所求的角的正弦值為.

　　13.

　　(1)證明　設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

　　則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，

　　N(，0,0)，S(1，，0).

　　所以=(1，-1，)，=(-，-，0).

　　因?yàn)?middot;=-++0=0，

　　所以CMSN.

　　(2)解　=(-，1,0)，

　　設(shè)a=(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則

　　即令x=2，得a=(2,1，-2).

　　因?yàn)閨cos〈a，〉|===，所以SN與平面CMN所成的角為45°.