2015年湖北高考數(shù)學(xué)復(fù)習：函數(shù)的奇偶性與周期性

湖北2015年高考數(shù)學(xué)復(fù)習：函數(shù)的奇偶性與周期性

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料，希望對大家的復(fù)習有幫助。

　　一、選擇題

　　1.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當x≥0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù))，則f(-1)等于(　　).A.3 B.1 C.-1 D.-3

　　解析　由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.則b=-1，

　　f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.

　　答案　D

　　2.已知定義在R上的奇函數(shù)，f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為 (　　).

　　A.-1 B.0 C.1 D.2

　　(構(gòu)造法)構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin x，則有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一個滿足條件的函數(shù)，所以f(6)=sin 3π=0，故選B.

　　答案　B

　　3.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x[3,5]時，f(x)=2-|x-4|，則下列不等式一定成立的是(　　).

　　A.f>f B.f(sin 1)f(sin 2)

　　解析　當x[-1,1]時，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，

　　顯然當x[-1,0]時，f(x)為增函數(shù);當x[0,1]時，f(x)為減函數(shù)，cos=-，sin =>，又f=f>f，所以f>f.

　　答案　A

　　4.已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)是(　　).

　　A.偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)，且單調(diào)遞減

　　C.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D.奇函數(shù)，且單調(diào)遞減

　　解析　當x>0時，f(-x)=2-x-1=-f(x);當x<0時，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).當x=0時，f(0)=0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)=1-2-x在[0，+∞)上為增函數(shù)，f(x)=2x-1在(-∞，0)上為增函數(shù)，又x≥0時1-2-x≥0，x<0時2x-1<0，故f(x)為R上的增函數(shù).

　　答案　C.已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數(shù)，當x[0,1)時，f(x)=4x-1，則f(-5.5)的值為(　　)

　　A.2 B.-1 C.- D.1

　　解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.

　　答案　.設(shè)函數(shù)D(x)=則下列結(jié)論錯誤的是(　　).

　　A.D(x)的值域為{0,1} B.D(x)是偶函數(shù)

　　C.D(x)不是周期函數(shù) D.D(x)不是單調(diào)函數(shù)

　　解析　顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確.若x是無理數(shù)，-x，x+1是無理數(shù);若x是有理數(shù)，-x，x+1也是有理數(shù).D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯誤.

　　答案　C二、填空題

　　.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a=________.

　　解析　由題意知，函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.

　　答案　0

　　.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù)，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，則g(-1)=________.

　　解析　因為y=f(x)+x2是奇函數(shù)，且x=1時，y=2，所以當x=-1時，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.

　　答案　-1.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[-5,5]，當x[0,5]時，函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為________.解析　由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于坐標原點對稱，由y=f(x)在[0,5]上的圖象，得它在[-5,0]上的圖象，如圖所示.由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)(2,5).答案　(-2,0)(2,5)

　　10. 設(shè)f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)=f的所有x之和為________.

　　解析 f(x)是偶函數(shù)，f(2x)=f，

　　f(|2x|)=f，

　　又f(x)在(0，+∞)上為單調(diào)函數(shù)，

　　|2x|=，

　　即2x=或2x=-，

　　整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，

　　設(shè)方程2x2+7x-1=0的兩根為x1，x2，方程2x2+9x+1=0的兩根為x3，x4.

　　則(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.

　　-8三、解答題

　　.已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).

　　(1)求f(1)，f(-1)的值;

　　(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.

　　解　(1)因為對定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.

　　(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數(shù).

　　.已知函數(shù)f(x)對任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0，f(1)=-2.

　　(1)求證f(x)是奇函數(shù);

　　(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

　　(1)證明　令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，

　　則f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)為奇函數(shù).

　　(2)解　任取x10，所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0，所以f(x)為減函數(shù).而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.

　　所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.

　　已知函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，當x[0,1]時，f(x)=2x-1，

　　(1)求證：f(x)是周期函數(shù);

　　(2)當x[1,2]時，求f(x)的解析式;

　　(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.

　　(1)證明　函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，則f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

　　(2) 當x[1,2]時，2-x[0,1]，

　　又f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，則f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].

　　(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，

　　f(3)=f(-1)=-f(1)=-1

　　又f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

　　f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)

　　=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

　　.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x).

　　(1)求證：f(x)是周期函數(shù);

　　(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的個數(shù).

　　(1)證明　f(x+2)=-f(x)，

　　f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，

　　f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

　　(2)解　當0≤x≤1時，f(x)=x，

　　設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，

　　f(-x)=(-x)=-x.

　　f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)，

　　-f(x)=-x，即f(x)=x.

　　故f(x)=x(-1≤x≤1).

　　又設(shè)1