2015年湖北高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的方程

湖北2015年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的方程

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　一、選擇題

　　1.已知點(diǎn)A(1，-1)，B(-1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　).

　　A.x2+y2=2 B.x2+y2=

　　C.x2+y2=1 D.x2+y2=4

　　解析　AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,0)，

　　|AB|==2，

　　圓的方程為：x2+y2=2.

　　答案　A

　　2.設(shè)圓的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0，若00，所以原點(diǎn)在圓外.

　　答案　B

　　3.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為(　　)

　　A.(x+2)2+(y-2)2=1

　　B.(x-2)2+(y+2)2=1

　　C.(x+2)2+(y+2)2=1

　　D.(x-2)2+(y-2)2=1

　　解析 只要求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，就是對(duì)稱圓的圓心，兩個(gè)圓的半徑不變.設(shè)圓C2的圓心為(a，b)，則依題意，有解得對(duì)稱圓的半徑不變，為1.

　　4.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(　　).

　　A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]

　　解析　因?yàn)閳A心(3，-5)到直線4x-3y-2=0的距離為5，所以當(dāng)半徑r=4 時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1，當(dāng)半徑r=6時(shí)，圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1，所以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1時(shí)，4

　　答案　A

　　5.已知圓C：x2+y2+mx-4=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為(　　).

　　A.8 B.-4 C.6 D.無法確定

　　解析　圓上存在關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x-y+3=0過圓心，即-+3=0，m=6.

　　答案　C

　　6.圓心為C的圓與直線l：x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足·=0，則圓C的方程為(　　).

　　A.2+(y-3)2= B.2+(y+3)2=

　　C.2+(y-3)2= D.2+(y+3)2=

　　解析　法一　圓心為C，

　　設(shè)圓的方程為2+(y-3)2=r2.

　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2).

　　由圓方程與直線l的方程聯(lián)立得：5x2+10x+10-4r2=0，

　　x1+x2=-2，x1x2=.

　　由·=0，得x1x2+y1y2=0，即：

　　x1x2-(x1+x2)+=+=0，

　　解得r2=，經(jīng)檢驗(yàn)滿足判別式Δ>0.

　　故圓C的方程為2+(y-3)2=.

　　法二　圓心為C，

　　設(shè)圓的方程為2+(y-3)2=r2，

　　在所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)方程所寫的圓心是正確的，即2+(y-3)2=，故選C.

　　答案　C

　　二、填空題

　　7.過兩點(diǎn)A(0,4)，B(4,6)，且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.

　　解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，圓半徑為r，則圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，

　　圓心在直線x-2y-2=0上，a-2b-2=0，

　　又圓過兩點(diǎn)A(0,4)，B(4,6)，(0-a)2+(4-b)2=r2，且(4-a)2+(6-b)2=r2，

　　由得：a=4，b=1，r=5，

　　圓的方程為(x-4)2+(y-1)2=25.

　　(x-4)2+(y-1)2=25.已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1，點(diǎn)A(0，-1)，B(0,1).P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA|2+|PB|2取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.解析 設(shè)P(x0，y0)，則|PA|2+|PB|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2，

　　顯然x+y的最大值為(5+1)2，

　　dmax=74，此時(shí)=-6，結(jié)合點(diǎn)P在圓上，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

　　8.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________.

　　解析　由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑為=，圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

　　答案　(x-2)2+(y-1)2=5

　　9.已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1，點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則d=|PA|2+|PB|2的最大值為________，最小值為________.

　　解析　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2，欲求d的最值，只需求u=x+y的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方的最值.圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，故d的最大值為74，最小值為34.

　　答案　74　34

　　三、解答題

　　10.已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|=4.

　　(1)求直線CD的方程;

　　(2)求圓P的方程.

　　解　(1)直線AB的斜率k=1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，

　　直線CD的方程為y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.

　　(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由P在CD上得a+b-3=0.

　　又直徑|CD|=4，|PA|=2，

　　(a+1)2+b2=40，

　　由解得或

　　圓心P(-3,6)或P(5，-2)，

　　圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.

　　11.已知圓M過兩點(diǎn)C(1，-1)，D(-1,1)，且圓心M在x+y-2=0上.

　　(1)求圓M的方程;

　　(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.

　　解　(1)設(shè)圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，

　　根據(jù)題意得：

　　解得a=b=1，r=2，

　　故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.

　　(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積

　　S=SPAM+SPBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|，

　　又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，

　　而|PA|==，

　　即S=2.

　　因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

　　即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，

　　所以|PM|min==3，

　　所以四邊形PAMB面積的最小值為

　　S=2=2=2.

　　12.已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.

　　(1)求圓C的方程;

　　(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值.

　　解　(1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得

　　則圓C的方程為x2+y2=r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2，

　　故圓C的方程為x2+y2=2.

　　(2)設(shè)Q(x，y)，則x2+y2=2，且·=(x-1，y-1)·(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2，

　　令x=cos θ，y=sin θ，

　　·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2

　　=2sin-2，

　　所以·的最小值為-4..已知點(diǎn)A(-3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.

　　(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程;

　　(2)若點(diǎn)Q在直線l1：x+y+3=0上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值.

　　(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，

　　則=2.

　　化簡可得(x-5)2+y2=16，此即為所求.

　　(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖，由直線l2是此圓的切線，連接CQ，則|QM|==，

　　當(dāng)CQl1時(shí)，|CQ|取最小值，

　　|CQ|==4， 此時(shí)|QM|的最小值為=4.