2014年荊楚理工學(xué)院專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

荊楚理工學(xué)院
2014年專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、課程名稱：高等數(shù)學(xué)

二、適用專業(yè)：非數(shù)學(xué)專業(yè)

三、考試方法：閉卷考試

四、考試時(shí)間：90分鐘

五、試卷結(jié)構(gòu)：總分：100分

其中選擇題20分，填空題20分，計(jì)算題50分，證明題10分。

六、參考書(shū)目：

1、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2007年第6版。

2、李樂(lè)成等主編，《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），華中科技大學(xué)出版社，2004年第2版。

七、考試的基本要求：

考生應(yīng)理解《高等數(shù)學(xué)》中的函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)和常微分方程的基本概念與基本理論；
學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；
應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；
有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明和準(zhǔn)確地計(jì)算的能力；
能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

八、考試范圍

第一章 函數(shù)與極限

（一）函數(shù)（非重點(diǎn)）

1.
考試范圍

（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)

（2）函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、周期性

（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義、反函數(shù)的圖象

（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算

（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

（6）初等函數(shù)

2. 要求

（1）理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。

（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會(huì)判斷所給函數(shù)的類別。

（3）了解函數(shù)y=ƒ（x）與其反函數(shù)y=ƒ-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

（4）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

（5）掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象。

（6）了解初等函數(shù)的概念。

（7）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

（二）極限

1. 考試范圍

（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列 數(shù)列極限的定義

（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性 有界性 四則運(yùn)算定理 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列 極限存在定理

（3）函數(shù)極限的概念

函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 x趨于無(wú)窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義

（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理 夾逼定理 四則運(yùn)算定理

（5）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì) 兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較

（6）兩個(gè)重要極限

2. 要求

（1）理解極限的概念（對(duì)極限定義中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

（3）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

1. 考試范圍

（1）函數(shù)連續(xù)的概念

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義 左連續(xù)和右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理（包括零點(diǎn)定理）

（4）初等函數(shù)的連續(xù)性

2. 要求

（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。

二、導(dǎo)數(shù)與微分

1. 考試范圍

（1）導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的基本公式

（3）求導(dǎo)方法

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

（5）微分：微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性

2. 要求

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理

（2）洛必達(dá)（L’Hospital）法則

（3）函數(shù)增減性的判定法

（4）函數(shù)極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值

（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)

（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線

2. 要求

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。

（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（小）值的方法，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

（5）會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

（6）會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

（7）會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。

第四章 不定積分

1. 考試范圍

（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義 原函數(shù)存在定理 不定積分的性質(zhì)

（2）基本積分公式

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法） 第二換元法

（4）分部積分法

（5）一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分

2. 要求

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5）會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

第五章 定積分

1. 考試范圍

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義 可積條件

（2）定積分的性質(zhì)

（3）定積分的計(jì)算

變上限的定積分 牛頓一萊布尼茨公式 換元積分法 分部積分法

2. 要求

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

第六章 定積分的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1） 定積分的元素法，定積分在幾何學(xué)上的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2. 要求

（1）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積

第七章 微分方程

1. 考試范圍

（1）微分方程的概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解

（2）可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

2. 要求

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2）掌握可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)

1. 考試范圍

（1） 向量及其線性運(yùn)算。

（2）數(shù)量積，向量積。

（3）曲面及其方程。

（4）平面及其方程。

（5）空間直線及其方程。

2. 要求

（1）掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積）。

（2）掌握空間曲線及其方程。

（3）掌握平面的方程和直線的方程及其求法。

第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

（一）多元函數(shù)的微分學(xué)

1. 考試范圍

（1）多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念（2）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 全微分的概念

（3）全微分存在的必要條件和充分條件

（4）多元復(fù)合函數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 二階偏導(dǎo)數(shù)

2. 要求

（1）理解多元函數(shù)的概念；
了解二元函數(shù)的幾何意義；
了解二元函數(shù)的極限的連續(xù)的概念。

（2）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件。（3）掌握偏導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法，會(huì)求一些函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

（二）多元函數(shù)的微分學(xué)的應(yīng)用

1. 考試范圍

（1）多元函數(shù)極值和條件極值的概念

（2）多元函數(shù)極值的必要條件 二元函數(shù)極值的充分條件

（3）多元函數(shù)極值和最值的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用

2. 要求

（1）了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，知道多元函數(shù)極值存在的必要條件。

（2）了解二元參數(shù)極值存在的必要條件和充分條件。

（3）掌握二元函數(shù)極值、最值問(wèn)題的求法，會(huì)解簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題。

第十章 重積分

1．考試范圍

（1）二重積分的概念和性質(zhì)

（2）二重積分的計(jì)算和應(yīng)用

2．要求

（1）了解二重積分的概念與性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

（2）掌握二重積分的計(jì)算方法，會(huì)用二重積分求一些簡(jiǎn)單幾何量。

第十一章 曲線積分

1．考試范圍

（1）兩類曲線積分的計(jì)算。

（2）格林（Green）公式。

2. 要求

（1）理解兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

（2）掌握兩類曲線積分的計(jì)算；
格林（Green）公式，運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。

第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1．考試范圍

（1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。

（2）冪級(jí)數(shù)。

（3）將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

2．要求

（1）理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；
正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理