2020年黃岡師范學(xué)院專升本數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《專業(yè)綜合》考試大綱

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九、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《專業(yè)綜合》考試大綱

課程一：《高等代數(shù)》考試大綱（總分75分）

一、考核目標(biāo)

高等代數(shù)是是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，屬基礎(chǔ)主干課程、也是學(xué)位課程，是學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)學(xué)科和其它現(xiàn)代科學(xué)學(xué)科的必備基礎(chǔ)。與數(shù)學(xué)分析、空間解析幾何一起，組成數(shù)學(xué)必需的基本知識(shí)以及研究方法，是學(xué)習(xí)泛函分析、近世代數(shù)、初等數(shù)論等后繼課程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作具有重要的理論指導(dǎo)作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握為進(jìn)一步提高專業(yè)知識(shí)水平所必需的代數(shù)基礎(chǔ)理論和基本方法。

二、參考教材

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2013年8月第4版。

三、試題類型

選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題。

四、考試的內(nèi)容及基本要求

第二章  行列式

考試內(nèi)容：

1．n級(jí)排列、逆序數(shù)、偶（奇）排列、對(duì)換、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定義、n級(jí)行列式的性質(zhì)；

3．行列式的變換、行列式計(jì)算；

4．行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用；

5．Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：

1．掌握n階行列式的概念與性質(zhì)；

2．學(xué)會(huì)用行列式的性質(zhì)熟練地計(jì)算行列式；

3．掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。

第三章  線性方程組

考試內(nèi)容：

1．消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2．n維向量概念、n維向量的運(yùn)算、線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)（無關(guān)）、線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩；

3．矩陣秩的求法；

4．線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組解的幾何意義；

5．兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式、二元高次方程組的解法。

基本要求：

1．理解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，能熟練地運(yùn)用消元法求解一般的線性方程組；

2．正確理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的秩；

3．掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用；

4．能熟練地求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；

5．掌握一般線性方程組在有解的情況下解的結(jié)構(gòu)；

6．掌握n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。

第四章  矩陣

考試內(nèi)容：

1．矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式與秩；

2．可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)、可逆矩陣的兩個(gè)應(yīng)用；

3．矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用；

4．逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。

基本要求：

1．掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律，并能熟練地運(yùn)用；

2．掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4．掌握初等矩陣的概念、初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的方法。

課程二：《數(shù)學(xué)分析》考試大綱（總分75分）

一、考核目標(biāo)

通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容和方法，為后續(xù)課程打下良好的基礎(chǔ)；為培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和探索能力提供必要的訓(xùn)練；深入地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握典型的分析方法，使學(xué)生初步具備應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力。

二、參考教材

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上），高等教育出版社，2010年7月第4版。

三、試題類型

選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題。

四、考試的內(nèi)容及基本要求

第1章  實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：

1．實(shí)數(shù)分類、實(shí)數(shù)的性質(zhì)（對(duì)四則運(yùn)算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性）、絕對(duì)值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；

3．函數(shù)表示法、函數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)；

4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)。

基本要求：

1．熟練掌握實(shí)數(shù)域及性質(zhì)；

2．掌握幾個(gè)常用的不等式；

3．熟練掌握鄰域、上確界、下確界以及確界原理；

4．牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章  數(shù)列極限

考試內(nèi)容：

1．?dāng)?shù)列極限的“”定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列；

2．收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算法則；

3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。

基本要求：

1．熟練掌握數(shù)列極限“”定義；

2．掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；

3．掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。

第3章  函數(shù)極限

考試內(nèi)容：

1．函數(shù)極限概念的“”、“”定義，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系；

2．函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算法則；

3．函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則；

4．掌握兩個(gè)重要的極限；

5．無窮小量和無窮大量的比較。

基本要求：

1．熟練掌握使用函數(shù)極限“”“”的概念；

2．掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3．掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等）；

4．熟練應(yīng)用兩個(gè)兩個(gè)重要的極限；

5．能掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。

第4章  函數(shù)的連續(xù)性

考試內(nèi)容：

1．函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)（左、右連續(xù)）及間斷點(diǎn)的概念、間斷點(diǎn)的分類；

2．連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號(hào)性，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

基本要求：

1．熟練掌握在點(diǎn)連續(xù)的定義和等價(jià)定義；

2．熟練掌握間斷點(diǎn)及其分類；

3．熟練掌握在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)；

4．熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。

第5章  導(dǎo)數(shù)和微分

考試內(nèi)容：

1．平面曲線切線與瞬時(shí)速問題度、導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)；

2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

3．微分的概念、微分的四則運(yùn)算、一階微分形式不變性、近似計(jì)算與誤差估計(jì)；

4．高階導(dǎo)數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。

基本要求：

1．熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義；

2．掌握并熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式；

3．會(huì)求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式）；

4．掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算；

5．掌握一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

第6章  微分中值定理及應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1．費(fèi)馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2．型不定式極限、型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數(shù)的單調(diào)性與極值；

4．函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn)；

5．函數(shù)圖象的討論。

基本要求：

1．牢固掌握微分中值定理并會(huì)靈活應(yīng)用；

2．會(huì)用洛比達(dá)法則求極限，會(huì)將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為和型；

3．掌握單調(diào)與符號(hào)的關(guān)系，并用它證明單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；

4．掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)，利用判定凹凸性及拐點(diǎn)；

5．能通過一定的計(jì)算進(jìn)行函數(shù)圖象的討論。

第7章  實(shí)數(shù)的完備性

考試內(nèi)容：

確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調(diào)有界定理。

基本要求：

1．了解下列基本概念：區(qū)間套、聚點(diǎn)、覆蓋與有限覆蓋、子列的概念；

2．了解實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)定理的結(jié)論。

第8章  不定積分

考試內(nèi)容：

1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運(yùn)算法則。

2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分。

基本要求：

1．掌握原函數(shù)與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2．熟練掌握換元積分法、分部積分法；

3．熟練掌握有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

第9章  定積分

考試內(nèi)容：

1．定積分的定義、函數(shù)的可積條件（必要條件，可積準(zhǔn)則，可積函數(shù)類（三個(gè)充分條件））；

2．定積分的線性性質(zhì)、區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對(duì)可積性等性質(zhì)，積分中值定理；

3．變上限積分函數(shù)概念與性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法。

基本要求：

1．掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，會(huì)利用定義進(jìn)行一些數(shù)列極限的計(jì)算

2．熟練掌握微積分基本定理、積分中值定量，并會(huì)加以應(yīng)用；

3．會(huì)熟練計(jì)算定積分；

4．掌握定積分的變換及其一定的應(yīng)用。

第10章  定積分應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1．平面圖形的面積、函數(shù)的平均值；

2．由截面面積求立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積；

3．曲線的弧長；

4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積；

5．微元法思想及應(yīng)用。

基本要求：

1．要求能熟練計(jì)算各種平面圖形面積；

2．會(huì)由截面面積求立體體積，以及旋轉(zhuǎn)體的體積；

3．會(huì)利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積；

4．微元法思想及應(yīng)用。

 

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