2015年湖北高考數(shù)學復習：《相關性與最小二乘估計》

湖北2015年高考數(shù)學復習：《相關性與最小二乘估計》

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學輔導資料，希望對大家的復習有幫助。

　　一、選擇題

　　1.在下面四個選項中，圖中的兩個變量具有相關關系的是(　　)

　　A.(1)(2) B.(1)(3)

　　C.(2)(4) D.(2)(3)

　　[答案]　A

　　[解析]　相關關系有兩種情況，所有點看上去都在一條直線附近波動，是線性相關;若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，是非線性相關的.(3)(4)是不相關的.

　　2.下列變量之間的關系是函數(shù)關系的是(　　)

　　A.光照時間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量

　　B.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a、c是常數(shù)，b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式Δ=b2-4ac

　　C.每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量之間的關系

　　D.人的身高與所穿鞋子的號碼之間的關系

　　[答案]　B

　　[解析]　應用變量相關關系的定義加以判斷.A項，光照時間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量是相關關系.B項，判別式Δ=b2-4ac與b是函數(shù)關系.C項，每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量是相關關系.D項，人的身高與所穿鞋子的號碼在一定時期是相關關系，故選B.

　　3.設有一個回歸直線方程為y=2-1.5x，則變量x每增加1個單位時(　　)

　　A.y平均增加1.5個單位B.y平均增加2個單位

　　C.y平均減少1.5個單位D.y平均減少2個單位

　　[答案]　C

　　[解析]　回歸直線方程y=2-1.5x是關于x的遞減函數(shù)，因為y隨x的增大而減小，因此排除了A，B，回歸直線方程y=2-1.5x的一次項系數(shù)為-1.5，因此變量x每增加一個單位，y平均減少1.5個單位，因此選C .

　　4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i=1,2，…，n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(　　)

　　A.-1 B.0

　　C. D.1

　　[答案]　D

　　[解析]　本題考查了相關系數(shù)及相關性的判定.

　　樣本相關系數(shù)越接近1，相關性越強，現(xiàn)在所有的樣本點都在直線y=x+1上，樣本的相關系數(shù)應為1.

　　要注意理清相關系數(shù)的大小與相關性強弱的關系.

　　5.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

　　廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　)

　　A.63.6萬元 B.65.5萬元

　　C.67.7萬元 D.72.0萬元

　　[答案]　B

　　[解析]　a=-b=-9.4×=9.1，回歸方程為y=9.4x+9.1，令x=6，得y=9.4×6+9.1=65.5(萬元).

　　6.工人月工資y(元)依勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程為y=50+80x，下列判斷正確的是(　　)

　　A.勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元

　　B.勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高80元

　　C.勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高130元

　　D.當月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為2000元

　　[答案]　B

　　[解析]　由線性回歸方程知，回歸方程表示的直線不一定經(jīng)過各離散點，得到的y值是一個近似值，故選B.

　　二、填空題

　　7.某飲料店的日銷售收入y(單位：百元)與當天平均氣溫x(單位：℃)之間有下列數(shù)據(jù)：

　　x -2 -1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙、丙三位同學對上述數(shù)據(jù)進行研究，分別得到了x與y之間的三個回歸直線方程：y=-x+2.8;y=-x+3;y=-1.2x+2.6，其中正確的是________.(只填寫序號)

　　[答案]

　　[解析]　=0，=2.8，

　　把=0，=2.8代入檢驗，只有符合.

　　8.某小賣部為了了解熱茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當天氣溫，并制作了對照表：

　　氣溫(℃) 18 13 10 -1 杯數(shù) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程y=bx+a中的b≈-2，預測當氣溫為-5℃時，熱茶銷售量為________杯.

　　[答案]　70

　　[解析]　根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可求得=(18+13+10-1)=10，=(24+34+38+64)=40.

　　a=-b=40-(-2)×10=60.

　　y=-2x+60.

　　當x=-5時，y=-2×(-5)+60=70.

　　三、解答題

　　9.某商場品牌毛衣專柜為了了解毛衣的月銷量y(件)與月平均氣溫x()之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：

　　月平均氣溫x() 17 13 8 2 月銷量y(件) 24 33 40 55 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

　　(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a;

　　(3)氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6，據(jù)此估計，該商場專柜下個月毛衣的銷售量約為多少件?

　　[解析]　(1)散點圖如圖所示.

　　(2)由表中數(shù)據(jù)可得：==10，

　　==38，

　　又b=-2，所以a=38-(-2)×10=58，

　　從而線性回歸方程為y=-2x+58.

　　(3)當月的平均氣溫約為6時，其銷售量約為y=-2×6+58=46(件).

　　一、選擇題

　　1.下列敘述中：

　　變量間關系有函數(shù)關系，又有相關關系;

　　回歸函數(shù)即用函數(shù)關系近似地描述相關關系;

　　i=x1+x2+…+xn;

　　線性回歸方程y=bx+a中，b=，

　　a=-b;

　　線性回歸方程一定可以近似地表示相關關系.

　　其中正確的有(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　[答案]　C

　　[解析]　線性回歸方程只能近似地表示線性相關關系.

　　2.某考察團對全國10個城市進行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有相關關系，回歸方程y=0.66x+1.562，若某城市居民人均消費水平為7.675(千元)，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　)

　　A.83% B.72%

　　C.67% D.66%

　　[答案]　A

　　[解析]　該城市居民人均消費水平7.675=0.66x+1.562，

　　解得x≈9.262 1，則估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為×100%≈83%.

　　二、填空題

　　3.改革開放以來，我國高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，為調(diào)查農(nóng)村從2004年到2014年18歲到24歲的青年人每年考入大學的百分比，為便于統(tǒng)計，把2004年到2014年的年號依次編為0,1，…，10作為自變量x，每年考入大學的百分比作為因變量，進行回歸分析，得到回歸直線方程y=1.80+0.42x

　　下面對數(shù)據(jù)解釋正確的是________.

　　每年升入大學的百分比為1.80;升入大學的18歲到24歲的人數(shù)大約每年以0.42%的速度遞增;2004年升入大學的百分比約為1.80%，2014年升入大學的百分比約為6%;2004年到2014年升入大學的人數(shù)成等距離增加.

　　[答案]

　　[解析]　由b=0.42表示回歸直線y=1.80+0.42x的斜率估值，a=1.80表示截距，再結(jié)合直線方程中斜率與截距的意義可得正確.

　　4.在2014年春節(jié)期間，某市物價部門，對本市五個商場銷售的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，五個商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

　　價格x 9 9.5 10 10.5 11 銷售量y 11 10 8 6 5 通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對商品的價格x具有線性相關關系，則銷售量y對商品的價格x的回歸直線方程為________.

　　[答案]　y=-3.2x+40

　　[解析]　由數(shù)據(jù)表可得=10，=8，

　　b=-3.2，y=-3.2x+a，又過點(10,8)

　　得a=40，回歸直線方程為y=-3.2x+40.

　　三、解答題

　　5.某公司近年來科研費用支出x萬元與公司所獲得利潤y萬元之間有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

　　x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

　　(2)觀察散點圖，判斷y與x是否具有線性相關關系.

　　[分析]　本題中涉及兩個變量：利潤與科研經(jīng)費，以科研經(jīng)費為自變量，考查利潤的變化趨勢，從而做出判斷.

　　[解析]　(1)散點圖如下：

　　(2)由圖可知，所有數(shù)據(jù)點接近直線排列，

　　因此認為y與x有線性相關關系.

　　6.假設關于某設備使用年限x年和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：

　　x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖，判斷它們是否具有相關關系，若相關，求出y關于x的回歸方程.

　　[解析]　散點圖如下：

　　由散點圖可知，兩變量之間具有相關關系，且為線性相關.列表，計算

　　i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 =4，=5;

　　=90，iyi=112.3 設所求回歸方程為：y=bx+a，則由上表可得

　　b====1.23，

　　a=-b=5-1.23×4=0.08.

　　回歸方程為y=1.23x+0.08.

　　7.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

　　年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程=bx+a;

　　(2)利用(1)中所求的直線方程預測該地2015年的糧食需求量.

　　溫馨提示：若對數(shù)據(jù)作適當?shù)念A處理，可避免對大數(shù)字進行運算.

　　[解析]　(1)由所給數(shù)據(jù)分析，年需求量與年份之間近似直線上升，可對數(shù)據(jù)進行預處理如下表

　　年份-2006 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算出

　　=0，=3.2，

　　iyi=-4×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29=260，

　　=16+4+0+4+16=40，

　　b===6.5，

　　a=-b=3.2，

　　所求回歸直線方程y-257=6.5(x-2006)+3.2.

　　即y=6.5(x-2006)+260.2

　　(2)當x=2015時，

　　y=6.5(2015-2006)+260.2=318.7萬噸，故預測2015年糧食需求量約為318.7萬噸.