2007年1月自考試卷浙江微分幾何試題

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浙江省2007年1月高等教育自學(xué)考試
微分幾何試題
課程代碼：10022
一、判斷題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
判斷下列各題，正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“╳”。
1.向量函數(shù) (t)具有固定長(zhǎng)的充要條件是 (t)?′(t)= .( )
2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀.( )
3.如果曲面上有直線，則它一定是曲面的曲率線.( )
4.曲面上任一點(diǎn)沿任意方向都有測(cè)地線.( )
5.LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量.( )
6.高斯曲率為零的曲面一定是直紋面.( )
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
1.垂直于切平面的直線是__________.
2.__________向量正向總是指向曲線凹入的方向.
3.設(shè)曲面的第二基本形式為II=2du2+5dv2，則曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為_(kāi)_________.
4.以杜邦(Dupin)指標(biāo)線不存在的點(diǎn)是__________.
5.曲面上一點(diǎn)的__________是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率的最大值和最小值.
6.曲面上一條曲線的曲率k、法曲率kn、測(cè)地曲率kg的關(guān)系是__________.
三、完成下列各題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1.求雙曲螺線={acosht+a, asinht, at}在t=0的密切平面方程.
2.求曲線={3t-t3,3t2，3t+t3}在t=0點(diǎn)的曲率.
3.證明:如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),則此曲線是平面曲線.
4.求曲面={u2+v2,u2-v2,uv}在點(diǎn)(1,1)的法線方程.
5.設(shè)曲面的第一基本形式為ds2=du2+(v2+a2)dv2,求它上面三條曲線u+v=0,u-v=0,v=1,所圍成的三角形的面積.
6.求直紋面={ucosv, usinv, v+au}的腰曲線方程.

四、完成下列各題(本大題共4小題，每小題10分，共40分)
1.求曲線={etcost, etsint，et}在［0,t］之間的弧長(zhǎng)并化為自然參數(shù)方程.
2.證明過(guò)原點(diǎn)平行于圓柱螺線={acost, asint, bt}的副法線的直線軌跡是錐面a2(x2+y2)=b2z2.
3.計(jì)算懸鏈面={coshucosv, coshusinv, u}的高斯曲率.
4.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近曲線.

......
......

結(jié)束

本文標(biāo)簽

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