實變函數(shù)與泛函分析初步歷年試卷自考浙江2007年1月
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浙江省2007年1月高等教育自學(xué)考試
實變函數(shù)與泛函分析初步試題
課程代碼：10023
一、單項選擇題(本大題共3小題，每小題4分，共12分)
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.可數(shù)個可數(shù)集的交集是（ ）
A.空集 B.有限集
C.可數(shù)集 D.無法判定的
2.設(shè)E=［0，2］－（Q∩［1,3］），則mE=（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.設(shè)P是Cantor集，則（ ）
A.P與Rn對等，且P的測度為0 B.P與Rn對等，且P的測度為1
C.P與Rn不對等，P的測度為0 D.P與Rn不對等，P的測度為1
二、判斷題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“√”，錯的打“?”。
4.有理數(shù)集與無理數(shù)集一定是對等的.（ ）
5.開集減去閉集后的差集一定是開集.（ ?。?/span>
6.不可數(shù)點集的外測度一定大于零.（ ?。?/span>
7.設(shè)f (x)在E上非負可積，en=E［f ≥n］，則.（ ?。?/span>
8.若f (x)在區(qū)間［0,1］上幾乎處處可導(dǎo)，則f (x)在區(qū)間［0,1］上幾乎處處有界.（ ?。?/span>
9.函數(shù)f (x)= 不是［0,1］上的有界變差函數(shù).（ ?。?/span>
三、填空題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
10.設(shè)集列{An}兩兩不相交，則集列{An}的上限集為________________.
11.設(shè)An=(-,2-］，則________________.
12.若E與它的真子集對等，則E一定是無限集嗎？（只需填“是”或“否”即可）
答：________________.
13.設(shè)E是［0，1］－Q和［3，7］∩Q的并集，則mE=________________.
14.函數(shù)f (x)在E上幾乎處處有界是指________________.
15.設(shè)f (x)是可測集E上的函數(shù)，若δ>0，必有閉子集EδE，使f (x)是Eδ上的連續(xù)函數(shù)，且m(E-Eδ)<δ，則f (x)是E上的________________.
16.設(shè){f n(x)}是E上的非負可測函數(shù)列，且fn (x)≤fn+1(x)（n），則與一定相等嗎？（只需填“一定”或“不一定”即可）答：________________.
17.構(gòu)造［0,1］上的一個函數(shù)f (x)，使得f (x)在［0,1］上Lesbegue可測，但不是Lesbegue可積.例如f (x)=________________.
18.設(shè)f (x)=，則=________________.
19.函數(shù)f (x)= 在［0，1］上的全變差為________________.
四、完成下列各題(本大題共4小題，每小題9分，共36分)
20.構(gòu)造一個一一映射f:［0，1］→(0,1).
21.設(shè)I為全體無理數(shù)所成之集，令E=｛(x,y)|y=sin, x∈I｝，求E′，，.
22.證明可數(shù)點集的外測度為零.
23.利用，求證ln2=1-+-+….
......
浙江省2007年1月高等教育自學(xué)考試
實變函數(shù)與泛函分析初步試題
課程代碼：10023
一、單項選擇題(本大題共3小題，每小題4分，共12分)
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.可數(shù)個可數(shù)集的交集是（ ）
A.空集 B.有限集
C.可數(shù)集 D.無法判定的
2.設(shè)E=［0，2］－（Q∩［1,3］），則mE=（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.設(shè)P是Cantor集，則（ ）
A.P與Rn對等，且P的測度為0 B.P與Rn對等，且P的測度為1
C.P與Rn不對等，P的測度為0 D.P與Rn不對等，P的測度為1
二、判斷題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“√”，錯的打“?”。
4.有理數(shù)集與無理數(shù)集一定是對等的.（ ）
5.開集減去閉集后的差集一定是開集.（ ?。?/span>
6.不可數(shù)點集的外測度一定大于零.（ ?。?/span>
7.設(shè)f (x)在E上非負可積，en=E［f ≥n］，則.（ ?。?/span>
8.若f (x)在區(qū)間［0,1］上幾乎處處可導(dǎo)，則f (x)在區(qū)間［0,1］上幾乎處處有界.（ ?。?/span>
9.函數(shù)f (x)= 不是［0,1］上的有界變差函數(shù).（ ?。?/span>
三、填空題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
10.設(shè)集列{An}兩兩不相交，則集列{An}的上限集為________________.
11.設(shè)An=(-,2-］，則________________.
12.若E與它的真子集對等，則E一定是無限集嗎？（只需填“是”或“否”即可）
答：________________.
13.設(shè)E是［0，1］－Q和［3，7］∩Q的并集，則mE=________________.
14.函數(shù)f (x)在E上幾乎處處有界是指________________.
15.設(shè)f (x)是可測集E上的函數(shù)，若δ>0，必有閉子集EδE，使f (x)是Eδ上的連續(xù)函數(shù)，且m(E-Eδ)<δ，則f (x)是E上的________________.
16.設(shè){f n(x)}是E上的非負可測函數(shù)列，且fn (x)≤fn+1(x)（n），則與一定相等嗎？（只需填“一定”或“不一定”即可）答：________________.
17.構(gòu)造［0,1］上的一個函數(shù)f (x)，使得f (x)在［0,1］上Lesbegue可測，但不是Lesbegue可積.例如f (x)=________________.
18.設(shè)f (x)=，則=________________.
19.函數(shù)f (x)= 在［0，1］上的全變差為________________.
四、完成下列各題(本大題共4小題，每小題9分，共36分)
20.構(gòu)造一個一一映射f:［0，1］→(0,1).
21.設(shè)I為全體無理數(shù)所成之集，令E=｛(x,y)|y=sin, x∈I｝，求E′，，.
22.證明可數(shù)點集的外測度為零.
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結(jié)束
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