2013年高考數學復習資料：函數的周期性與奇偶性

高考2013年數學復習資料：函數的周期性與奇偶性

知識要點：
　
　一、函數的奇偶性
　　1.定義：對于函數f(x)，如果對于定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數；
　　對于函數f(x)，如果對于定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數；
　
　2.性質： 　　(1)函數依據奇偶性分類可分為：奇函數非偶函數，偶函數非奇函數，既奇且偶函數，非奇非偶函數；
　　(2) f(x),g(x)的定義域為D；
　　(3)圖象特點：奇函數的圖象關于原點對稱；
偶函數的圖象關于原點對稱；
　　(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數f(x)在原點處有定義，則有f(0)=0；
　　(5)任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)總可以表示為一個奇函數與偶函數的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數；
　　(6)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間具有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間具有相反的單調性。 　　
3.判斷方法： 　　(1)定義法 　　(2)等價形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)為奇函數；
　　f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數。 　
　4.拓展延伸： 　　(1)一般地，對于函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱；
　　(2)一般地，對于函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關于x=a成軸對稱。 　
　二、周期性： 　　
1.定義：對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當自變量x取定義域內的每一個值時，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就稱函數y=f(x)為周期函數。 　
　2.圖象特點： 　　將函數y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數倍個單位，所得的函數圖象與函數y=f(x)的圖象重合。 　　3.函數圖象的對稱性與周期性的關系： 　　(1)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|) 　　(2)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|) 　　(3)若對于函數y=f(x)定義域內任意一個x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：4|a-b|) 　
　典型例題 　　例1：判斷下列函數的奇偶性： 　　(1)f(x)=(x-1)·■ 　　解：函數的定義域為x∈{x|-1≤x<1} 　　函數f(x)=(x-1)·■為∴f(x)非奇非偶函數 　　(2) f(x)=loga(-x+-) 　　解：x∈R 　　f(-x)=loga(x+- 　　=loga- 　　=-loga(-x+-)=-f(x) 　　∴f(x)為奇函數 　　(3)f(x)=x·（-+-) 　　解：x∈{x∈R|x≠0} 　　f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-) 　　=-x(-+-+1)=0 　　∴f(x)為偶函數 　　(4)f(x)=- 　　解：1+cosx+sinx≠0 　　sin(x+-)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈R} 　　定義域不關于原點對稱，∴f(x)為非奇非偶函數 　　說明： 　　1.判斷函數的奇偶性首先要檢驗定義域是否關于原點對稱。特別應注意，求解定義域時，不能化簡解析式后再求解。 　　2.在判斷是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立時，必要時可使用等價變形形式：f(-x)±f(x)=0 　　例2：(1)已知：f(x)是奇函數，且x>0時f(x)=x|x-2| 　　求x<0的解析式 　　解：設x<0,則-x>0 　　-， 　　說明：1.利用函數的奇偶性求解析式，要將自變量x設在所求的范圍內。 　　2.轉化帶入利用定義構造方程。 　　(2)定義在R上的奇函數f(x)且滿足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x 　　求：當x∈(-6,-3)時，f(x)的解析式。 　　解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3) 　　- 　　∴f(x)=-2x+6 　　說明：1.合理分解題意是關鍵。 　　2.此題還可以應用周期性進行求解。 　　例3：已知：函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x) 　　(1)求證：f(x)為周期函數；
　　(2)若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。 　　(1)解：- 　　∴f(x)=f(x+4) 　　f(x)為周期是4的周期函數。 　　(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1] 　　- 　　∴f(x)=-x,x∈[-1,0] 　　∴f(x)=-x,x∈[-1,1] 　　x∈(1,3),∴-1 　　- 　　∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3] 　　- 　　x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1 　　∴x=4n-1,n∈Z