2007年1月浙江省自考試題近世代數(shù)

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浙江省2007年1月高等教育自學(xué)考試
近世代數(shù)試題
課程代碼：10025
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。
1.設(shè)A=R+（正實(shí)數(shù)域），B=R（實(shí)數(shù)域）
Φ:a→lga a∈A
則Φ是從A到B的（）
A.滿射而非單射 B.單射而非滿射
C.一一映射 D.既非單射也非滿射
2.設(shè)A={所有實(shí)數(shù)x}，A的代數(shù)運(yùn)算ab=a+2b（）
A.適合結(jié)合律但不適合交換律
B.不適合結(jié)合律但適合交換律
C.既適合結(jié)合律又適合交換律
D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律
3.設(shè)A={所有實(shí)數(shù)x}，A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿射的是（）
A.x→2x B.x→x2
C.x→-x D.x→3x
4.在3次對(duì)稱群S3中，階為2的元有（）
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
5.剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有（）
A.4個(gè) B.5個(gè)
C.6個(gè) D.7個(gè)
二、填空題(本大題共9小題，每小題3分，共27分)
請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
6.剩余類加群Z6有_______個(gè)生成元.
7.在5次對(duì)稱群S5中，(251)(4513)-1=_______.
8.設(shè)循環(huán)群G＝(a),如果a的階無(wú)限，則G同構(gòu)于_______.
9.剩余類環(huán)Z7的零因子個(gè)數(shù)等于_______.
10.剩余類環(huán)Z6的可逆元有_______個(gè).
11.域F的全部理想為_______.
12.整環(huán)I＝｛所有復(fù)數(shù)a+b(a,b是整數(shù))｝，則I的單位是_______.
13.設(shè)Q是有理數(shù)域，則Q(i)=_______.
14.在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式是_______.
三、解答題（本大題共3小題，第15小題10分,第16,17小題各12分，共34分）
15.在實(shí)數(shù)集R中定義二元運(yùn)算“ｏ”如下：aｏb=a+b+ab(a,b∈R),問(wèn)R對(duì)運(yùn)算“ｏ”是否作成群？試說(shuō)明理由.
16.找出模12的剩余類加群Z12的所有子群，并找出Z12的全部生成元.
17.設(shè)Z是整數(shù)環(huán)，(3)∩(7)、(3,7)是Z的怎樣一個(gè)理想？(3)∪(7)是Z的理想嗎？為什么？
四、證明題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.證明：階為素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群.
19.若R是無(wú)零因子環(huán)，且R中的元素個(gè)數(shù)是大于1的有限數(shù).證明：R是除環(huán).
20.設(shè)A=Z×Z是關(guān)于以下定義的加法、乘法作成的環(huán)：
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，(a,b)(c,d)=(ac,bd),
令f：(a,b)|→a，
（1）證明：f是A到Z的一個(gè)同態(tài)滿射.
（2）求kerf.
（3）A/kerf是怎樣的一個(gè)環(huán)？

......
......

結(jié)束

本文標(biāo)簽

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