2004年7月全國(guó)高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)試題

　　一、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案，并將正確答案的序號(hào)填在題干的括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共24分）

　　1.若A是（），則A必為方陣。

　　A. 分塊矩陣 B. 可逆矩陣

　　C. 轉(zhuǎn)置矩陣 D. 線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣

　　2.設(shè)n階方陣A，且｜A｜≠0，則（A*）-1=（）。

　　A.A B.A* C. ｜A-1｜A-1 D.A

　　3.設(shè)向量組M為四維向量空間R4的一個(gè)基，則（）必成立。 A. M由四個(gè)向量組成

　　B. M由四維向量組成

　　C. M由四個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的四維向量組成

　　D. M由四個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的四維向量組成

　　4.已知β1=3α1-α2，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2為非零向量，則向量組β1，β2，β3的秩（）。

　　A. >3 B. <3

　　C. =3 D. =0

　　5.設(shè)向量α1=（3，0，-2）T，α2=（2，-1，-5）T，β=（1，-2，k）T，則k=（）時(shí)，β才能由α1，α2線(xiàn)性表示。 A. –2 B. –4

　　C. –6 D. -8

　　6.設(shè)n階方陣A，秩（A）=r<n，則在A的n個(gè)行向量中（）。

　　A. 必有r個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)

　　B. 任意r個(gè)行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)

　　C. 任意r個(gè)行向量都構(gòu)成最大無(wú)關(guān)組

　　D. 任意一個(gè)行向量都可由其他r個(gè)行向量線(xiàn)性表示

　　7.設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b有唯一解，A為m×n矩陣，則必有（）。

　　A. m=n B. 秩（A）=m C. 秩（A）=n D. 秩（A）<n

　　8.設(shè)方陣A，下列說(shuō)法正確的是（）。

　　A. 若A有n個(gè)不同的特征向量，則A可以對(duì)角化

　　B. 若A的特征值不完全相異，則A不能對(duì)角化

　　C. 若AT=A，則A可以對(duì)角化

　　D. 以上說(shuō)法都不對(duì)

　　9.A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，則（x1，x2）=（）。

　　A. 1 B. –1

　　C. 0 D. 2

　　10.若（），則A∽B.

　　A. ｜A｜=｜B｜ B. 秩（A）=秩（B）

　　C. A與B有相同的特征多項(xiàng)式

　　D. n階矩陣A與B有相同的特征值，且n個(gè)特征值各不相同

　　11.正定二次型f（x1，x2，x3，x4）的矩陣為A，則（）必成立。

　　A. A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù) B. A的所有特征值為非負(fù)數(shù)

　　C. A的所有順序主子式大于零 D. A的所有特征值互不相同

　　12.設(shè)A，B為n階矩陣，若（），則A與B合同。

　　A. 存在n階可逆矩陣P、Q，且PAQ=B

　　B. 存在n階可逆矩陣P，且P-1AP=B

　　C. 存在n階正交矩陣Q，且Q-1AQ=B

　　D. 存在n階方陣C、T，且CAT=B 二、填空題（每空2分，共24分）

　　1.行列式 =______.

　　2.設(shè)A= ，則AAT=______.

　　3.向量組α1=（1，1，1，1），α2=（0，1，1，1），α3=（0，0，1，1）的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是______.

　　4.非零n維向量α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是______.

　　5.三維向量空間R3的一個(gè)基為（1，2，3），（-4，5，6），（7，-8，9），R3中向量α在該基下的坐標(biāo)為（-2，0，1），則α=______.

　　6.線(xiàn)性方程組Ax=0解向量的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為x1，x2，…，xt，則Ax=0的解向量x=_____. 7.設(shè)m×n矩陣A，且秩（A）=r，D為A的一個(gè)r+1階子式，則D=______.

　　8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，則 =______.

　　9.矩陣A= 的所有特征值為_(kāi)_______.

　　10.二次型f（x1，x2，x3）的矩陣A有三個(gè)特征值1，-1，2，該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為_(kāi)_____.

　　11.二次型f（x1，x2，x3）=2x12-x22+x32，該二次型的負(fù)慣性指數(shù)等于______.

　　12.與矩陣A= 對(duì)應(yīng)的二次型是______.

　　三、計(jì)算題（每小題7分，共42分）

　　1.已知 X= ，求矩陣X.

　　2.計(jì)算行列式

　　3.t取何值時(shí)，向量組α1=（1，2，3），α2=（2，2，2），α3=（3，0，t）線(xiàn)性相關(guān)，寫(xiě)出一個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系式。

　　4.方程組 是否有非零解若有，求其結(jié)構(gòu)解。

　　5.已知二階方陣A的特征值為4，-2，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為（1，1）T，（1，-5）T，求矩陣A.

　　6.求一個(gè)正交變換，把f（x1，x2）=2x12+2x1x2+2x22化成標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷f（x1，x2）是否正定。

　　四、證明題（每小題5分，共10分）

　　1.若對(duì)稱(chēng)矩陣A為非奇異矩陣，則A-1也是對(duì)稱(chēng)矩陣。

　　2.設(shè)n階矩陣A，且A2=E，試證A的特征值只能是1或-1.