2004年4月全國高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題

　　一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

　　在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

　　1.排列53142的逆序數(shù)τ（53142）=（　）

　　A.7 B.6

　　C.5 D.4

　　2.下列等式中正確的是（?。?/P>

　　A. B.

　　C. D.

　　3.設(shè)k為常數(shù)，A為n階矩陣，則|kA|=（?。?/P>

　　A.k|A| B.|k||A|

　　C. |A| D. |A|

　　4.設(shè)n階方陣A滿足 ，則必有（?。?/P>

　　A. 不可逆 B. 可逆

　　C. 可逆 D.

　　5.設(shè) ， ， ，則關(guān)系式（　）

　　的矩陣表示形式是

　　A. B.

　　C. D.

　　6.若向量組（Ⅰ）： 可由向量組（Ⅱ）： 線性表示，則必有（?。?/P>

　　A.秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B.秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）

　　C.r≤s D.r>s

　　7.設(shè) 是非齊次線性方程組 的兩個解，則下列向量中仍為方程組解的是（?。?/P>

　　A. B.

　　C. D.

　　8.設(shè)A，B是同階正交矩陣，則下列命題錯誤的是（　）

　　A. 也是正交矩陣 B. 也是正交矩陣

　　C. 也是正交矩陣 D. 也是正交矩陣

　　9.下列二次型中，秩為2的二次型是（?。?/P>

　　A. B.

　　C. D.

　　10.已知矩陣 ，則二次型 （　）

　　A. B.

　　C. D.

　　二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

　　請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

　　11.已知A，B為n階矩陣， =2， =－3，則 =_________________.

　　12.已知 ，E是3階單位矩陣，則 ＝_________________.

　　13.若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量組 的一個最大線性無關(guān)組為_________________.

　　14.若向量組 線性無關(guān)，則t應(yīng)滿足條件_________________.

　　15.設(shè) 是方程組 的基礎(chǔ)解系，則向量組 的秩為_________________.

　　16.設(shè) ， ，則 的內(nèi)積（ ）＝________________.

　　17.設(shè)齊次線性方程組？＝ 的解空間的維數(shù)是2，則a＝______________.

　　18.若實二次型 正定，則t的取值范圍是_________________.

　　19.實二次型 的正慣性指數(shù)p＝_________________.

　　20.設(shè)A為n階方陣， ，若A有特征值λ，則 必有特征值_________________.

　　三、計算題（本大題共8小題，每小題6分，共48分）

　　21.計算行列式 .

　　22.設(shè)實數(shù) 滿足條件？＝ ，求 及 .

　　23.求向量組，　，　，的一個最大線性無關(guān)組，并把其余向量用該最大線性無關(guān)組表示。

　　24.給定齊次線性方程組

　　（1）當(dāng)λ滿足什么條件時，方程組的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量？

　?。?）當(dāng)λ＝1時，求方程組的通解。

　　25.設(shè)矩陣 ，求

　　26.設(shè)向量 和 都是方陣A的屬于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 .

　　27.設(shè)矩陣 ，求正交矩陣P，使 為對角矩陣。

　　28.設(shè)二次型 經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準形 ，求a，b的值。

　　四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

　　29.設(shè)A為3階實對稱矩陣，且 .證明： .

　　30.已知矩陣 可逆，證明線性方程組 無解。