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2018年荊楚理工學院普通專升本考試大綱:《數學分析》

問答君發(fā)布于2018-12-19

荊楚理工學院2018年普通專升本:《數學分析》考試大綱 大綱是專升本命題的依據,因此,在此提醒廣大考生:在復習的過程中一定要嚴格按照 荊楚理工學院專升本:《數學分析》考試

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12018


荊楚理工學院2018年普通專升本:《數學分析》考試大綱






大綱是專升本命題的依據,因此,在此提醒廣大考生:在復習的過程中一定要嚴格按照






荊楚理工學院專升本:《數學分析》考試大綱來復習。







一、課程名稱






數學分析







二、適用專業(yè)


: 數學與應用數學







三、考試方法:


閉卷考試







四、考試時間:

100

分鐘







五、試卷結構:


總分:

150







六、



參考書目





1、

華東


師范大學數學系


編著,


《數學分析》(上、下冊)


,高等教育出版社,

2010

年第

4



。




2、劉玉璉編著,

《數學分析


講義


》(上、下冊)


,高等教育出版社,

2012




5

版。



七、考試的基本要求





《數學分析》


是數學與應用數學專業(yè)專升本入學考試中專業(yè)課考試內容,


考生應理解和掌握《數學分析》中函數、極限、連續(xù)、微分學、積分學和級數的基本概念、基本理論、基本方法。應具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力,能運用所學知識正確拙推理證明,準確、簡捷地計算。能綜合運用數學分析中的基本理論、基本方法分析和解決實際問題。





八、




考試范圍







第一章




實數集與函數





(一)考核內容





實數及其性質

,

絕對值與不等式。區(qū)間與鄰域,有界集與確界原理。函數概念

,

函數的表示法。函數的四則運算,復合函數,反函數

,

初等函數。具有某些特性的函數:有界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數。





(二)考核知識點




1、實數:實數的概念,實數的性質,絕對值與不等式;




2、數集、確界原理:區(qū)間與鄰域,有界集與無界集,上確界與下確界,確界原理;




3、函數概念:函數的定義,函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法),分段函數;




4、具有某些特征的函數:有界函數,單調函數,奇函數與偶函數,周期函數。





(三)考核要求




1、

了解實數域及性質;




2、

掌握幾種不等式及應用;




3、

熟練掌握




域,上確界,下確界,確界原理;



4、
牢固掌握函數復合、基本初等函數、初等函數及某些特性(單調性、周期性、奇偶性、有界性等)。






第二章


數列極限





(一)考核內容





數列。數列極限的
數學

定義

,

無窮小數列。收斂數列性質:唯一性、有界性、保號性、不等式性質、迫斂性、四則運算法則。子列及子列定理。數列極限存在的條件:數列極限的單調有界定理、柯西收斂準則。





(二)考核知識點




1、極限概念





2、收斂數列的性質:唯一性,有界性,保號性,單調性;




3、數列極限存在的條件:單調有界準則,迫斂性法則,柯西準則。



(三)考核要求




1、熟練掌握數列極限“數學
”定義

;




2

、掌握收斂數列的若干性質


;




3

、掌握數列收斂的條件(單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等)。






第三章


函數極限





(一)考核內容







函數的極限,單側極限。函數極限的性質




唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質、迫斂性




四則運算法則


。函數極限存在的條件:


歸結原則


、


函數極限的單調有界定理和柯西準則




兩個重要極限。無窮小量及其階的比較,無窮大量


,曲線的漸近線。





(二)考核知識點




1、函數極限的概念,單側極限的概念;




2、函數極限的性質:唯一性,局部有界性,局部保號性,不等式性,迫斂性;




3、函數極限存在的條件:歸結原則(
Heine

定理),柯西準則;




4、兩個重要極限;




5、無窮小量與無窮大量,階的比較。



(三)考核要求




1、熟練掌握使用“數學
”,“數學
”語言,

熟練


敘述各類型函數極限;



2
、掌握函數極限的若干性質;




3

、掌握函數極限存在的條件。(歸結原則,柯西準則,左、右極限

,

單調有界等);




4

、熟練應用兩個


重要


極限;




5

、牢固掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質、




的比較。



第四章 函數連續(xù)性


(一)考核內容


函數在一點的連續(xù)性,左、右連續(xù),間斷點及其分類,區(qū)間上的連續(xù)函數。連續(xù)函數的局部性質:局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數的連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質:最值定理、介值性定理、根的存在定理,反函數的連續(xù)性,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數函數的連續(xù)性,初等函數連續(xù)性。


(二)考核知識點


1、函數連續(xù)的概念:一點連續(xù)的定義,區(qū)間連續(xù)的定義,單側連續(xù)的定義,間斷點及其分類;


2、連續(xù)函數的性質:局部性質及運算,閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性),復合函數的連續(xù)性,反函數的連續(xù)性;


3、初等函數的連續(xù)性。


(三)考核要求


1、熟練掌握在點連續(xù)的定義,等價定義;


2、掌握間斷點及其類型;


3、了解在區(qū)間上連續(xù)的定義;


4、掌握在一點連續(xù)的性質及閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質;


5、了解初等函數的連續(xù)性。



第五章 導數與微分


(一)考核內容


導數的定義,導函數,導數的幾何意義,極值,費馬定理。導數的四則運算法則,反函數的導數, 復合函數的導數,基本求導法則與公式。參變量函數的導數,隱函數的導數,初等函數的導數。高階導數。微分概念,微分的幾何意義,微分的運算法則,一階微分形式的不變性,高階微分,微分在近似計算中的應用。


(二)考核知識點


1、導數概念:導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義;


2、求導法則:導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則(反函數的求導法則,復合函數的求導法則,隱函數的求導法則,參數方程的求導法則);


3、微分:微分的定義,微分的運算法則,微分的應用;


4、高階導數與高階微分。


(三)考核要求


1、熟練掌握導數的定義及其幾何意義;


2、牢固記住求導法則、求導公式;


3、會求各類函數的導數(復合函數、含參變量函數、隱函數、冪指函數、高階導數(萊布尼茲公式));


4、掌握微分的概念,并會用微分進行近似計算;


5、理解連續(xù)、可導、可微的關系。



第六章 微分中值定量、不定式極限


(一)考核內容


羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,單調函數??挛髦兄刀ɡ?。不定式極限,洛必達法則。


(二)考核知識點


1、中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;


2、幾種特殊類型的不定式極限與洛必達法則。


(三)考核要求


1、牢固掌握微分中值定理及應用(包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理);


2、會用洛比達法則求極限(將其他類型的不定型轉化為等類型)。



第七章 導數的應用


(一)考核內容


函數單調性與極值。最大值與最小值。函數的凸性與曲線的拐點。函數圖象的討論。方程的近似解。 極值的判別法;
函數的單調性、凸性討論的有關理論及結果;
畫函數草圖的基本要素和方法。


(二)考核知識點


1、函數的單調性與極值;


2、函數的凹凸性與拐點。


(三)考核要求


1、掌握單調與導數符號的關系,并用它證明單調,不等式、求單調區(qū)間、極值等;


2、利用的二階導數判定凹凸性及拐點;


3、了解凸函數及性質;


4、會求曲線各種類型的漸近線。



第八章 不定積分


(一)考核內容


原函數與不定積分概念,基本積分表,線性運算法則。換元積分法,分部積分法。有理函數的不定積分,三角函數有理式的不定積分,某些無理函數的不定積分。


(二)考核知識點


1、不定積分概念;


2、換元積分法與分部積分法;


3、幾類可化為有理函數的積分;


(三)考核要求


1、掌握原函數與不定積分的概念;


2、記住基本積分公式;


3、熟練掌握換元法、分部積分法;


4、了解有理函數積分步驟,并會求可化為有理函數的積分。



第九章 定積分


(一)考核內容


概念引入(曲邊梯形面積與變力作功),定積分定義,定積分的幾何意義。牛頓-萊布尼茲公式??煞e的必要條件,可積的充要條件,可積函數類:閉區(qū)間上的連續(xù)函數、只有有限個間斷點的有界函數、單調函數。定積分的基本性質,積分中值定理。變限積分與原函數的存在性,微積分學基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法。


(二)考核知識點


1、定積分的概念:概念的引入、黎曼積分定義,函數可積的必要條件;


2、可積性條件:可積的必要條件和充要條件,達布上和與達布下和,可積函數類(連續(xù)函數,只有有限個間斷點的有界函數,單調函數);


3、微積分學基本定理:可變上限積分,牛頓-萊布尼茲公式;


4、反常積分:無窮積分收斂與發(fā)散的概念,審斂法(柯西準則,比較法,狄利克雷與阿貝爾判別法);
瑕積分收斂與發(fā)散的概念,收斂判別法。


(三)考核要求


1、掌握定積分定義、性質;


2、了解可積條件,可積函數類;


3、深刻理解微積分基本定理,并會熟練應用;


4、熟練計算定積分;


5、掌握廣義積分收斂定義及判別法,會計算廣義積分。



第十章 定積分應用


(一)考核內容


微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積,旋轉體體積。平面曲線的弧長、曲率。旋轉曲面的面積。定積分的近似計算。


(二)考核知識點


1、定積分的幾何應用:平面圖形的面積,微元法,已知截面面積函數的立體體積,旋轉體的體積,平面曲線的弧長;


(三)考核要求


1、熟練計算各種平面圖形面積;


2、會求旋轉體或已知截面面積的體積;


3、會利用定積分求孤長。



第十一章 多元函數極限與連續(xù)


(一)考核內容


平面點集概念,R2上的完備性定理,二元函數和n元函數概念。二重極限,累次極限。二元函數的連續(xù)性,復合函數的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數的性質。


(二)考核知識點


1、平面點集與多元函數的概念;


2、二元函數的極限、累次極限;


3、二元函數的連續(xù)性:二元函數的連續(xù)性概念、連續(xù)函數的局部性質及初等函數連續(xù)性。


(三)考核要求


1、了解平面點集的若干概念;


2、掌握二元函數二重極限定義、性質;


3、掌握二次極限,并掌握二重極限與二次極限的關系;


4、掌握二元連續(xù)函數定義、性質。



第十二章 多元函數微分學


(一)考核內容


多元函數的可微性與全微分,偏導數及其幾何意義,全微分存在的必要條件、充分條件,可微性的幾何意義及應用。復合函數的求導法則,復合函數的全微分。方向導數與梯度。高階偏導數,二元函數的中值定理和秦勒公式,二元函數的極值與最值。


(二)考核知識點


1、可微性:偏導數的概念 ,偏導數的幾何意義,偏導數與連續(xù)性;
全微分概念;
連續(xù)性與可微性,偏導數與可微性;


2、多元復合函數微分法及求導公式;


3、方向導數與梯度;


4、泰勒定理與極值。


(三)考核要求


1、熟練掌握可微,偏導,可微的意義;


2、掌握二元函數可微,連續(xù)以及偏導函數連續(xù)等概念之間的關系;


3、會計算各種類型函數的偏導,函數的全微分;


4、會求空間曲面的切平面,法線;


5、會求函數的方向導數;


6、會求二元函數的無條件極值。



第十三章 隱函數定理及其應用


(一)考核內容


隱函數概念,隱函數存在性條件的分析,隱函數(存在惟一性、可微性)定理,隱函數求導。隱函數組概念,函數行列式,隱函數組定理,隱函數組求導,反函數組與坐標變換。幾何應用。條件極值與拉格朗日乘數法。


(二)考核知識點


1、隱函數:隱函數的概念,隱函數的定理,隱函數求導舉例;


2、隱函數組:隱函數組存在定理,反函數組與坐標變換,雅可比行列式;


3、幾何應用:平面曲線的切線與法線,空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面和法線;
條件極值:條件極值的概念,條件極值的必要條件。


(三)考核要求


1、掌握一個方程確定的隱函數的條件,隱函數性質,隱函數的導數(偏導)公式;


2、會求空間曲線的切線與法平面;


3、會求曲面的切平面與法線;


4、掌握條件極值的拉格朗日乘數法。



第十四章 重積分


(一)考核內容


平面圖形的面積,二重積分的定義及其存在性,二重積分性質。直角坐標系下二重積分的計算(化為累計積分)。格林公式,平面曲線積分與路線無關的等價條件,原函數。二重積分的變量替換公式,用極坐標計算二重積分。三重積分的概念與性質,化三重積分為累次積分,三重積分的換元法,柱坐標變換與球坐標變換。重積分在的應用:曲面的面積。


(二)考核知識點


1、二重積分概念:二重積分的概念,可積條件,可積函數,二重積分的性質;


2、二重積分的計算:化二重積分為累次積分,換元法(極坐標變換,一般變換);


3、含參變量的積分;


4、三重積分計算:化三重積分為累次積分, 換元法(一般變換,柱面坐標變換,球坐標變換);


5、重積分應用:立體體積,曲面的面積,物體的重心,轉動慣量;


6、含參量非正常積分概念及其一致斂性:含參變量非正常積分及其一致收斂性概念,一致收斂的判別法(柯西準則,與函數項級數一致收斂性的關系,一致收斂的判別法),含參變量非正常積分的分析性質。


(三)考核要求


1、了解二重積分,三重積分的定義與性質;


2、掌握二重積分的換序,變量代換;


3、了解三重積分的換序,會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分;


4、了解含參量正常積分的定義及性質。



第十五章 曲線積分與曲面積分


(一)考核內容


第一型曲線積分的定義與計算。第二型曲線積分的定義和計算,兩類曲線積分的聯(lián)系。第一型曲面積分概念、性質和計算。曲面的側,第二型面積分概念、性質和計算,兩類曲面積分之間的聯(lián)系。高斯公式,斯托克斯公式,空間曲線積分與路線無關的等價條件。


(二)考核知識點


1、第一型曲線積分的概念、性質與計算,第一型曲面積分的的概念、性質與計算;


2、第二型曲線積分的概念、性質與計算,變力作功,兩類曲線積分的聯(lián)系;


3、格林公式,曲線積分與路線的無關性, 全函數;


4、曲面的側,第二型曲面積分概念及性質與計算,兩類曲面積分的關系;


5、高斯公式,斯托克斯公式,空間曲線積分與路徑無關性;


(三)考核要求


1、熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法;


2、了解兩種曲線積分,兩種曲面積分關系;


3、熟練運用格林公式,高斯公式,斯托克斯公式的計算;


4、掌握積分與路徑無關的條件。



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