2013年黃岡師范學院專升本《數學與應用數學》專業(yè)綜合教學大綱

黃岡師范學院2013年專升本《數學與應用數學》專業(yè)綜合教學大綱

九、《數學與應用數學》專業(yè)綜合教學大綱
課程一：《高等代數》考試大綱（總分100）
一、參考教材
北京大學數學系幾何與代數教研室編，高等代數，高等教育出版社，2003，（第三版）。
二、考試的內容及基本要求
第一章 多項式
考試內容：
1、數集、數域、多項式的概念、多項式的代數性質；

2、整除概念、整除性幾個常用性質、不可約多項式；

3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項式及其性質；

4、重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重數的方法、因式分解唯一性定理；
5、多項式的根、多項式的根的個數、復數域上多項式的分解、實數域上多項式的分解。
基本要求：
1、掌握一元多項式概念。運算及多項乘積與次數的關系；

2、正確理解多項式整除的概念及性質。正確理解帶余除法；

3、掌握最大公因式的概念、性質。求法以及多項式互素的概念和性質；

4、正確理解不可約多項式的概念。掌握多項式因式分解的唯一性定理；

5、正確理解多項式重因式的概念，掌握多項式有無重因式的判別方法；

6、掌握多項式函數以及多項式根的概念；

7、掌握復數域和實數域上多項式的因式分解定理；

8、掌握有理數域上的多項式的有理根的求法。
第二章 行列式
考試內容：
1、n級排列、逆序數、偶(奇)排列、對換、排列的奇偶性；

2、一般行列式的定義、n級行列式的性質；

3、矩陣的初等變換、行列式計算；

4、行列式按一行展開的性質、展開性質的應用；

5、Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：
1、掌握n階行列式的概念與性質；

2、學會用行列式的性質、熟練地計算行列式；

3、掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。
第三章 線性方程組
考試內容：
1、消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2、n維向量概念、n維向量的運算、線性組合、向量組等價、線性相關(無關)、線性相關性的判定、極大線性無關組及向量組的秩；

3、矩陣秩的求法；

4、線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結構、一般線性方程組解的結構、線性方程組解的幾何意義；

5、兩個多項式的結式、二元高次方程組的解法。
基本要求：
1、理解消元法與矩陣初等變換的關系，能熟練地運用消元法解一般的線性方程組；

2、正確理解和掌握矩陣的被的概念，能熟練地運用矩陣的初等變換要求矩陣的秩；

3、掌握線性方程組有解的判定定理及其應用；

4、能熟練地求次線性方程組的基礎解系；

5、一般線性方程組在有解的情況下，掌握它的解的結構；

6、掌握n個未知量n個方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。
第四章 矩陣
考試內容：
1、矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩；

2、可逆矩陣、可逆矩陣的性質、可逆矩陣的兩個應用；

3、矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應用；

4、逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。
基本要求：
1、掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置及其運算規(guī)律，并能熟練地運用；

2、掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3、熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4、掌握初等矩陣的概念。初等矩陣與初等變換的關系以及用初等變換求逆矩陣的方法。
第五章 二次型
考試內容：
1、二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關系、二次型的標準形的求法；

2、正定二次型及其性質、正定性的判別、與正定二次型平行的理論；

基本要求：
1、掌握二次型的概念及二次型與對稱矩陣一一對應關系；

2、掌握化二次型為標準形的方法及其理論依據；

3、掌握矩陣合同的概念及其性質；

4、掌握正定二次型的概念和判別法。
第六章 線性空間
考試內容：
1、集合、映射、線性空間的定義及簡單性質、線性相關性及幾個結論、維數、基與坐標；

2、基變換與坐標變換、關于過渡矩陣的求法；

3、線性子空間及其判別、生成子空間；

4、子空間的交與和定義、維數公式、子空間交與和的求法、子空間的直和。
基本要求：
1、掌握線性空間概念及簡單性質，了解公理化的思想方法；

2、正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判別方法；

3、正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關性的概念和性質；

4、掌握有限維線性空間的基與維數的概念及求法；

5、掌握線性空間中向量坐標的定義，基變換與坐標變換的公式，過渡矩陣的概念、性質及求法。
第七章 線性變換
考試內容：
1、線性變換定義、線性變換的運算規(guī)律、線性變換多項式
2、線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關系、坐標變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關系、相似矩陣的性質
3、特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項式的性質
4、某組基下的矩陣為對角陣的線性變換、相似對角陣及所對應基的求法、值域與核的定義及其性質、值域與核的求法
基本要求：
1、正確理解線性變換的概念、掌握它的運算及簡單性質。
2、掌握線性變換與矩陣的一一對應關系。
3、正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法。掌握矩陣對角化的條件及其方法。
4、掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。
第九章 歐氏空間
考試內容：
1、定義與基本性質、度量矩陣、標準正交基、標準正交基的存在性及求法、標準正交基到標準正交基的過渡矩陣
基本要求：
1、正確理解內積、歐氏空間、長度、夾角、距離等概念。
2、掌握標準正交基的求法。
3、理解歐氏空間同構的概念及同構的充分必要條件。
4、掌握正交變換與正交矩陣等概念、性質及關系。
課程二：《數學分析》考試大綱（總分100）
一、參考教材
華東師大數學系編，數學分析（上、下冊），高等教育出版社，2005，（第三版）
二、考試的內容及基本要求
第1章 實數集與函數
考試內容：
1．實數分類、實數的性質(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數集、確界原理；

3．函數表示法、函數四則運算、復合函數、反函數、初等函數；

4．有界函數、單調函數、奇函數、偶函數、周期函數；

基本要求：
1、要熟練掌握實數域及性質；

2、掌握幾個常用的不等式；

3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理；

4、牢固掌握函數的復合法則、基本初等函數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第2章 數列極限
考試內容：
1．數列極限的“ ”定義及其幾何意義、無窮小數列；

2．收斂數列的唯一性、有界性、保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．單調有界定理、柯西收斂準則。
基本要求：
1、要熟練掌握數列極限“ ”定義；

2、掌握收斂數列的若干性質；

3、掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。
第3章 函數極限
考試內容：
1．函數極限概念的“ ”、“ ”定義，單側極限及其與極限的關系；

2．函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．函數極限的單調有界定理、歸結原則、柯西準則；

4．兩個重要的極限 和 ；

5．無窮小量和無窮大量的比較。
基本要求：
1、熟練掌握使用“ ”，“ ”語言，能用不等式敘述各類型函數極限的概念；

2、掌握函數極限的若干性質；

3、掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）；

4、會熟練應用兩個特殊極限；

5、能掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。
第4章 函數的連續(xù)性
考試內容：
1．函數在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類；

2．連續(xù)函數的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數的四則運算及復合函數的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數的連續(xù)性、初等函數的連續(xù)性、一致連續(xù)性。
基本要求：
1、要熟練掌握 在 點連續(xù)的定義和等價定義；

2、熟練掌握間斷點及其分類；

3、熟練掌握 在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質；

4、熟練掌握初等函數的連續(xù)性。
第5章 導數和微分
考試內容：
1．切線問題、瞬時速度、導數定義、單側導數、導數的幾何意義、導函數；

2．導數的四則運算、反函數的導數、復合函數的導數；

3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計；

4．高階導數與高階微分、參數方程和隱函數求導法。
基本要求：
1、熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義；

2、牢固記住求導法則、求導公式；

3、會求各類的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式）；

4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5、掌握連續(xù)、可導、可微之間的關系。
第6章 微分中值定理及應用
考試內容：
1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2． 型不定式極限、 型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數的單調性與極值；

4．函數的凸凹性與拐點；

5．函數圖象的討論。
基本要求：
1、牢固掌握微分中值定理并會靈活應用；

2、 會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉化為 和 型；

3、掌握 單調與 符號的關系，并用它證明 單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等；

4、利用 判定凹凸性及拐點；

5、掌握凸函數概念及性質；

6、會求曲線各種類型的漸近線性。
第7章 實數的完備性
考試內容：
1．確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調有界定理。
基本要求：
1、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、子列的概念；

2、了解實數完備性的七個等價定理的結論。
第8章 不定積分
考試內容：
1．原函數、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。
2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數的積分、三角函數有理式的積分、某些簡單無理函數的積分；

基本要求：
1、掌握原函數與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2、熟練掌握換元法、分部積分法；

3、熟練掌握有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。
第9章 定積分
考試內容：
1．定積分定義、可積條件、三類可積函數
2．定積分的線性性質、對區(qū)間的可加性、單調性、絕對可積性、積分中值定理
3．變動上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法
基本要求：
1、掌握定積分定義、性質、可積條件，可積函數類。
2、熟練掌握微積分基本定理，并會熟練應用。
3、會熟練計算定積分。
第10章 定積分應用
考試內容：
1．平面圖形的面積、函數的平均值
2．由截面面積求立體體積
3．曲線的弧長
4．旋轉曲面的面積
基本要求：
1、要求能熟練計算各種平面圖形面積。
2、會求已知截面面積的物體和旋轉體的體積。
3、會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。
第12章 數項級數
考試內容：
1、數項級數收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂級數的性質
2、正級數的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法
基本要求：
1、掌握數項級數斂散的定義、性質。
2、熟練掌握正項級數的斂散判別法。
第13章 函數列與函數項級數
考試內容：
1．函數列的極限函數、函數項級數的和函數、函數列與函數項級數的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 判別法
2．極限函數與和函數的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)
基本要求：
1、掌握函數列及函數項級數的一致收斂定義。
2、掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。
3、掌握函數列的極限函數、函數項級數的和函數的性質。
第14章 冪級數
考試內容：
1．冪級數、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內閉一致收斂性、和函數的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)
基本要求：
1、熟練冪級數收斂域，收斂半徑，及和函數的求法。
2、了解冪級數的若干性質。
3、了解求一般任意階可微函數的冪級數展式的方法。特別牢固記住五種函數 、 、 、 、 的馬克勞林展式。
4、會利用間接法求一些初等函數的冪級數展式。
第15章 傅里葉級數
考試內容：三角級數、三角函數系的正交性、收斂定理、以 為周期的傅立葉級數。
基本要求：熟記傅里葉系數公式，并會求之。
第16章 多元函數極限與連續(xù)
考試內容：
1、平面點集的鄰域、內點、外點、界點、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域
2、二元函數的概念及幾何表示、任意多元函數的概念
3、二元函數的極限(重極限、累次極限)
基本要求：
1、了解平面點集的若干概念。
2、掌握二元函數二重極限定義、性質。
3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。
4、掌握二元連續(xù)函數定義、性質。
第17章 多元函數微分學
考試內容：
1、偏導數及其幾何意義
2、復合函數的偏導數及全微分
3、空間曲線的切線與法平面
基本要求：
1、熟練掌握可微、偏導數的意義。
2、掌握二元函數可微、偏導數、連續(xù)以及偏導函數連續(xù)等概念之間關系。
3、會計算各種類型的偏導數、全微分。
第18章 隱函數定理及其應用
考試內容：
1、隱函數概念、隱函數定理、隱函數導數
2、條件極值概念、拉格朗日乘數法
基本要求：
1、掌握由一個方程確定的隱函數的條件，隱函數性質，隱函數的導數（偏導）公式。
2、會求空間曲線的切線與法平面、會求空間曲面的切平面與法線。
3、掌握條件極值的拉格朗日乘數法。

第20章 重積分
考試內容：
1、二重積分概念、可積條件、性質
2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標變換、 一般曲線變換)、含參量積分導數
3、分概念、性質(與二重積分相同)
4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標變換、 球坐標變換)
基本要求：
1、了解二重積分、三重積分定義與性質。
2、掌握二重積分的換序和變量代換。