2013年黃岡師范學院專升本《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)綜合教學大綱

黃岡師范學院2013年專升本《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)綜合教學大綱

九、《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)綜合教學大綱
課程一：《高等代數(shù)》考試大綱（總分100）
一、參考教材
北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室編，高等代數(shù)，高等教育出版社，2003，（第三版）。
二、考試的內(nèi)容及基本要求
第一章 多項式
考試內(nèi)容：
1、數(shù)集、數(shù)域、多項式的概念、多項式的代數(shù)性質(zhì)；

2、整除概念、整除性幾個常用性質(zhì)、不可約多項式；

3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推廣、不可約多項式及其性質(zhì)；

4、重因式、單因式、微商、重因式的判別及求法、去掉因式重數(shù)的方法、因式分解唯一性定理；
5、多項式的根、多項式的根的個數(shù)、復數(shù)域上多項式的分解、實數(shù)域上多項式的分解。
基本要求：
1、掌握一元多項式概念。運算及多項乘積與次數(shù)的關(guān)系；

2、正確理解多項式整除的概念及性質(zhì)。正確理解帶余除法；

3、掌握最大公因式的概念、性質(zhì)。求法以及多項式互素的概念和性質(zhì)；

4、正確理解不可約多項式的概念。掌握多項式因式分解的唯一性定理；

5、正確理解多項式重因式的概念，掌握多項式有無重因式的判別方法；

6、掌握多項式函數(shù)以及多項式根的概念；

7、掌握復數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解定理；

8、掌握有理數(shù)域上的多項式的有理根的求法。
第二章 行列式
考試內(nèi)容：
1、n級排列、逆序數(shù)、偶(奇)排列、對換、排列的奇偶性；

2、一般行列式的定義、n級行列式的性質(zhì)；

3、矩陣的初等變換、行列式計算；

4、行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用；

5、Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：
1、掌握n階行列式的概念與性質(zhì)；

2、學會用行列式的性質(zhì)、熟練地計算行列式；

3、掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。
第三章 線性方程組
考試內(nèi)容：
1、消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2、n維向量概念、n維向量的運算、線性組合、向量組等價、線性相關(guān)(無關(guān))、線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩；

3、矩陣秩的求法；

4、線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性方程組解的幾何意義；

5、兩個多項式的結(jié)式、二元高次方程組的解法。
基本要求：
1、理解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，能熟練地運用消元法解一般的線性方程組；

2、正確理解和掌握矩陣的被的概念，能熟練地運用矩陣的初等變換要求矩陣的秩；

3、掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用；

4、能熟練地求次線性方程組的基礎(chǔ)解系；

5、一般線性方程組在有解的情況下，掌握它的解的結(jié)構(gòu)；

6、掌握n個未知量n個方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。
第四章 矩陣
考試內(nèi)容：
1、矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩；

2、可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)、可逆矩陣的兩個應(yīng)用；

3、矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應(yīng)用；

4、逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。
基本要求：
1、掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律，并能熟練地運用；

2、掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3、熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4、掌握初等矩陣的概念。初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的方法。
第五章 二次型
考試內(nèi)容：
1、二次型的矩陣表示、二次型及二次型矩陣、替換前后二次型矩陣的關(guān)系、二次型的標準形的求法；

2、正定二次型及其性質(zhì)、正定性的判別、與正定二次型平行的理論；

基本要求：
1、掌握二次型的概念及二次型與對稱矩陣一一對應(yīng)關(guān)系；

2、掌握化二次型為標準形的方法及其理論依據(jù)；

3、掌握矩陣合同的概念及其性質(zhì)；

4、掌握正定二次型的概念和判別法。
第六章 線性空間
考試內(nèi)容：
1、集合、映射、線性空間的定義及簡單性質(zhì)、線性相關(guān)性及幾個結(jié)論、維數(shù)、基與坐標；

2、基變換與坐標變換、關(guān)于過渡矩陣的求法；

3、線性子空間及其判別、生成子空間；

4、子空間的交與和定義、維數(shù)公式、子空間交與和的求法、子空間的直和。
基本要求：
1、掌握線性空間概念及簡單性質(zhì)，了解公理化的思想方法；

2、正確理解和掌握線性空間的子空間的概念和判別方法、子空間交與和的概念，掌握和是直和的判別方法；

3、正確理解和掌握線性空間中的向量的線性相關(guān)性的概念和性質(zhì)；

4、掌握有限維線性空間的基與維數(shù)的概念及求法；

5、掌握線性空間中向量坐標的定義，基變換與坐標變換的公式，過渡矩陣的概念、性質(zhì)及求法。
第七章 線性變換
考試內(nèi)容：
1、線性變換定義、線性變換的運算規(guī)律、線性變換多項式
2、線性變換矩陣在一組基下的矩陣、線性變換與其在一組基下矩陣的關(guān)系、坐標變換公式、線性變換在不同基下的矩陣、線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系、相似矩陣的性質(zhì)
3、特征值與特征向量的定義、特征值與特征向量的求法、特征多項式的性質(zhì)
4、某組基下的矩陣為對角陣的線性變換、相似對角陣及所對應(yīng)基的求法、值域與核的定義及其性質(zhì)、值域與核的求法
基本要求：
1、正確理解線性變換的概念、掌握它的運算及簡單性質(zhì)。
2、掌握線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系。
3、正確理解和掌握矩陣的相似，特征值特征向量等重要概念及求法。掌握矩陣對角化的條件及其方法。
4、掌握線性變換的值域與核的概念及其求法。
第九章 歐氏空間
考試內(nèi)容：
1、定義與基本性質(zhì)、度量矩陣、標準正交基、標準正交基的存在性及求法、標準正交基到標準正交基的過渡矩陣
基本要求：
1、正確理解內(nèi)積、歐氏空間、長度、夾角、距離等概念。
2、掌握標準正交基的求法。
3、理解歐氏空間同構(gòu)的概念及同構(gòu)的充分必要條件。
4、掌握正交變換與正交矩陣等概念、性質(zhì)及關(guān)系。
課程二：《數(shù)學分析》考試大綱（總分100）
一、參考教材
華東師大數(shù)學系編，數(shù)學分析（上、下冊），高等教育出版社，2005，（第三版）
二、考試的內(nèi)容及基本要求
第1章 實數(shù)集與函數(shù)
考試內(nèi)容：
1．實數(shù)分類、實數(shù)的性質(zhì)(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；

3．函數(shù)表示法、函數(shù)四則運算、復合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)；

4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)；

基本要求：
1、要熟練掌握實數(shù)域及性質(zhì)；

2、掌握幾個常用的不等式；

3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理；

4、牢固掌握函數(shù)的復合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第2章 數(shù)列極限
考試內(nèi)容：
1．數(shù)列極限的“ ”定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列；

2．收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準則。
基本要求：
1、要熟練掌握數(shù)列極限“ ”定義；

2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；

3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。
第3章 函數(shù)極限
考試內(nèi)容：
1．函數(shù)極限概念的“ ”、“ ”定義，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系；

2．函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準則；

4．兩個重要的極限 和 ；

5．無窮小量和無窮大量的比較。
基本要求：
1、熟練掌握使用“ ”，“ ”語言，能用不等式敘述各類型函數(shù)極限的概念；

2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3、掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準則，左、右極限、單調(diào)有界等）；

4、會熟練應(yīng)用兩個特殊極限；

5、能掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。
第4章 函數(shù)的連續(xù)性
考試內(nèi)容：
1．函數(shù)在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類；

2．連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數(shù)的四則運算及復合函數(shù)的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。
基本要求：
1、要熟練掌握 在 點連續(xù)的定義和等價定義；

2、熟練掌握間斷點及其分類；

3、熟練掌握 在一點連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)；

4、熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。
第5章 導數(shù)和微分
考試內(nèi)容：
1．切線問題、瞬時速度、導數(shù)定義、單側(cè)導數(shù)、導數(shù)的幾何意義、導函數(shù)；

2．導數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)；

3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計；

4．高階導數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導法。
基本要求：
1、熟練掌握導數(shù)的定義，幾何、物理意義；

2、牢固記住求導法則、求導公式；

3、會求各類的導數(shù)（復合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導數(shù)（萊布尼茲公式）；

4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5、掌握連續(xù)、可導、可微之間的關(guān)系。
第6章 微分中值定理及應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2． 型不定式極限、 型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數(shù)的單調(diào)性與極值；

4．函數(shù)的凸凹性與拐點；

5．函數(shù)圖象的討論。
基本要求：
1、牢固掌握微分中值定理并會靈活應(yīng)用；

2、 會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為 和 型；

3、掌握 單調(diào)與 符號的關(guān)系，并用它證明 單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；

4、利用 判定凹凸性及拐點；

5、掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)；

6、會求曲線各種類型的漸近線性。
第7章 實數(shù)的完備性
考試內(nèi)容：
1．確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調(diào)有界定理。
基本要求：
1、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、子列的概念；

2、了解實數(shù)完備性的七個等價定理的結(jié)論。
第8章 不定積分
考試內(nèi)容：
1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。
2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分；

基本要求：
1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2、熟練掌握換元法、分部積分法；

3、熟練掌握有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。
第9章 定積分
考試內(nèi)容：
1．定積分定義、可積條件、三類可積函數(shù)
2．定積分的線性性質(zhì)、對區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對可積性、積分中值定理
3．變動上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法
基本要求：
1、掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，可積函數(shù)類。
2、熟練掌握微積分基本定理，并會熟練應(yīng)用。
3、會熟練計算定積分。
第10章 定積分應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1．平面圖形的面積、函數(shù)的平均值
2．由截面面積求立體體積
3．曲線的弧長
4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積
基本要求：
1、要求能熟練計算各種平面圖形面積。
2、會求已知截面面積的物體和旋轉(zhuǎn)體的體積。
3、會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。
第12章 數(shù)項級數(shù)
考試內(nèi)容：
1、數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂級數(shù)的性質(zhì)
2、正級數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法
基本要求：
1、掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。
2、熟練掌握正項級數(shù)的斂散判別法。
第13章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
考試內(nèi)容：
1．函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 判別法
2．極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)
基本要求：
1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。
2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。
3、掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。
第14章 冪級數(shù)
考試內(nèi)容：
1．冪級數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)
基本要求：
1、熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。
2、了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)。
3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住五種函數(shù) 、 、 、 、 的馬克勞林展式。
4、會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。
第15章 傅里葉級數(shù)
考試內(nèi)容：三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 為周期的傅立葉級數(shù)。
基本要求：熟記傅里葉系數(shù)公式，并會求之。
第16章 多元函數(shù)極限與連續(xù)
考試內(nèi)容：
1、平面點集的鄰域、內(nèi)點、外點、界點、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域
2、二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念
3、二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限)
基本要求：
1、了解平面點集的若干概念。
2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。
3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。
4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì)。
第17章 多元函數(shù)微分學
考試內(nèi)容：
1、偏導數(shù)及其幾何意義
2、復合函數(shù)的偏導數(shù)及全微分
3、空間曲線的切線與法平面
基本要求：
1、熟練掌握可微、偏導數(shù)的意義。
2、掌握二元函數(shù)可微、偏導數(shù)、連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù)等概念之間關(guān)系。
3、會計算各種類型的偏導數(shù)、全微分。
第18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1、隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)導數(shù)
2、條件極值概念、拉格朗日乘數(shù)法
基本要求：
1、掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導數(shù)（偏導）公式。
2、會求空間曲線的切線與法平面、會求空間曲面的切平面與法線。
3、掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

第20章 重積分
考試內(nèi)容：
1、二重積分概念、可積條件、性質(zhì)
2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標變換、 一般曲線變換)、含參量積分導數(shù)
3、分概念、性質(zhì)(與二重積分相同)
4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標變換、 球坐標變換)
基本要求：
1、了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)。
2、掌握二重積分的換序和變量代換。