線性代數(shù)的學習心得

來源：湖北自考網(wǎng) 時間：2013-03-25

武漢科技大學自考的老師總結(jié)：先做計算題，填空題，然后證明題，選擇題等（一定要堅持先易后難的原則，一定要。旁邊有某些同志說：“這些都是屁話，我們都知的快快轉(zhuǎn)入正題吧！”）　　把選擇題第8題拉出來讓大家看看　　n(n>1)階實對矩陣A是正定矩陣的充份必要條件是（）　　A．A是　　正定二次型f(x)=x(A)x的矩陣　　B．A是各階順序主子式均大于等于零（書本的p231定5.9知，大于零就可以了，明顯也是錯的）　　C．二次型f(x)=xTAx的負慣性指數(shù)為零　　D．存在n階矩陣C，使得A=CTC（由書本的P230知，存在非奇異N階矩陣C，使A=CTC)很明顯，這個選擇是錯了）　　各位學友在做選擇題時要仔細呀！　　證明題　　先講1999年下半年　　設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若ABC=I,這里I為單位矩陣，求證：B為可逆矩陣，且寫出的逆矩陣？　　證的過程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩陣。　　求其逆矩陣，ABC=I，兩邊同時右乘C-1得AB=C-1,接下來左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位學友有沒有更簡便的方法謝謝告之）　　對這題做后的心得，本人認為一定要記得，a逆陣可逆的充分必要條件是行列式|a|不等零（切記，還有如ab=i,那么a-1=b）　　對了還有，在求解逆矩陣，最簡單方法是用初等行變換　　公式法嗎！容易出錯，只適合求解比較特殊的　　下面這些是相關(guān)的證明題　　設(shè)B矩陣可逆，A矩陣與B矩陣同階。且滿足A2+AB+B2=O，證明A和A+B都是可逆矩陣？（相信大家都能做出）　　己知i+ab可逆，試證I+BA也可逆？　　接下來看看1999年上半年的　　設(shè)n階方陣A與B相似，證明：A和B有相同的特征多項式？　　應(yīng)搞清楚下面的概念　　什么是特征多項式呢（1）　　什么是特征值呢（2）　　什么還有特征向量（3）　　什么是相似矩陣（4）　　λI-A稱為A的特征矩陣；
|λI-A|稱為A的特征多項式；
|λI-A|=0稱為A的特征矩陣，而由些求出的全部根，即為A的全部特征值。　　對每一個求出特征值λ，求出齊次方程組(λI-A)x=o的基礎(chǔ)解是&1,&2,&3...&s,則k1&1+k2&2+...ks&s即是A對應(yīng)于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全為零）　　相似矩陣：設(shè)A，B都是n階方陣，若存在n階可逆陣p，使得p-1ap=b,則稱A相似于B，記為A~B(相擬矩陣有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值）　　我覺得有這么一題使終我還是一知半解的，拉出來讓大家看看：　　設(shè)A為4階方陣，A*為A的伴隨矩陣，若|A|=3，則|A*|=?,|2A*|=? 　　這題答案是27，432 　　怎么算的呢？這個具體我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,這個N代表多少階，如是4階那么3^3=27,后面那個，切記：把2提出行列式以外，看A是幾階行列式，4階就提4次，2^4*3^3=432(可能書上不是這樣的，我只是根據(jù)其習題答案推論出來的）　　應(yīng)注意的問題：區(qū)為行列式和矩陣之間的區(qū)別，特別是用一個不為零的數(shù)K乘以行列式或矩陣，前者只是乘以某一行或列，后者則是每一個元素都要乘！　　很容易搞不零清的：線性相關(guān)或無關(guān)和什么情況下線性方程組有解或無解，還有什么極大無關(guān)組，基礎(chǔ)解系，特征值，多項式，特征向量，相似矩陣有哪些性質(zhì)，正交矩陣的充分心要條件，二次型化成標準型。

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